Въведение в сложната лихва

В това видео бих искал да поговоря за сложната лихва и после да обсъдим по какъв начин приблизително можем да разберем колко бързо се натрупва сложната лихва. След това ще проверим колко близко до истината е било направеното предположение. Да кажем, че управлявам някаква банка и ти предлагам 10% лихва за депозит със срок една година. В реалността нещата са различни, обикновено лихвата се натрупва постоянно, но, за да опростим примера, ще кажем, че се натрупва годишно – има други видеа за сложна лихва – така ще опростим изчисленията. Да кажем, че днес депозираш 100 долара в банковата си сметка. Ако изчакаш една година, в която сумата не депозита не се променя, то в края на годината ще получиш своите 100 долара, плюс 10% върху 100-доларовия ти депозит. 10% от 100 се равнява на още 10 долара. Така след година ще имаш 110 долара. Може да се каже, че прибавяме 10% към 100. След две години, или след още година след тази първа година, ще получиш още 10%, но не само върху 100-те долара, а върху 110 долара. 10% върху 110 долара означава, че ще получиш още 11 долара, тъй като 10% от 110 е 11 долара. 110 долара е сумата на депозита в началото на втората година, в края на тази втора година получаваш още 10% върху тази сума, а не 10% върху началния си депозит. Затова казваме, че лихвата се натрупва. Защото получаваш лихва върху лихвата от предишни години. Т.е. 110 плюс сегашните 11 долара. Всяка година размерът на лихвата, която получаваме, ако не теглим нищо, се покачва. Сега имаме 121 долара и мога да продължавам така. Но ето как мога да сметна колко ще имам след, да кажем, n години: умножаваме... Тук ще използвам малко алгебра. Да кажем, че това е моят начален депозит, или моята главница. След примерно една година просто умножаваме... За да стигнем до това 110 тук, умножаваме 100 по 1,1 Всъщност да го сметнем по следния начин. Не искам да бъде твърде абстрактно. За да получим това число 110 ето тук, просто умножихме 100 по (1 плюс 10% ), което е равно на 100 по 1,1. Това 121 е равно на това 110, умножено отново по 1,1. Това 110 е същото 100 по 1,1, което изчислихме ето там. Сега ще умножим това цялото 100 по 1,1 отново по 1,1. Спомняш ли си какво е 1,1? 1,1 е равно на 100% плюс 10% Това е, което получаваме. Имаме 100% от нашия начален депозит плюс още 10%, затова умножаваме 100 по 1,1. Тук ще направим това два пъти: умножаваме два пъти по 1,1. След три години колко пари ще имаме? Получава се, че след три години ще имаме 100 по 1,1 на трета степен. След n години, малко става абстрактно тук... След n години ще имаме 100 по 1,1 на n-та степен. Както можеш да предположиш, това не е лесно за пресмятане. Досега работехме с 10%. Ако се намираме в свят, в който се работи, да речем, със 7%... Да кажем, че имаме различен случай, в който имаме 7% сложна годишна лихва. Така след една година бихме имали 100 по... вместо 1,1 би било 100% плюс 7%, или 1,07. Да пресметнем за 3 години. След 3 години би било 100 по 1,07 на трета степен, или 1,07 умножено по себе си 3 пъти. След n години ще е равно на 1,07 на степен n. Мисля, че разбираш логиката, а именно, че идеята е сравнително проста, но да се пресметне натрупващата се лихва, е доста трудно. А ако те попитам: "След колко време ще се удвоят парите ти?" Използвайки логиката от примерите тук, би трябвало да ми отговориш: За да удвоя началната сума от 100 долара при лихва от 10%, трябва да умножа 100 по (1,1) на степен х и това трябва да е равно на 200 долара, щом искам да се удвоят парите. Сега ще трябва да пресметнем х с помощта на логаритми. Делим двете страни на 100. Получаваме 1,1 на степен х равно на 2. Просто разделих двете страни на 100. След това може да логаритмуваш и двете страни при основа 1,1, и така получаваш колко е х. Показвам ти нарочно, че това е сложно. Объркващо е, но има много видеа как се смятат този вид логаритми. Получаваме х равно на логаритъм от 2 при основа 1,1. Повечето от нас не могат да сметнат това наум. Въпреки че идеята за това колко дълго ще ми отнеме да удвоя парите си е проста, всъщност не е лесно да реша задачата и да получа точен отговор. Ако разполагаш с обикновен калкулатор, може да продължиш да увеличаваш броя на годините, докато получиш приблизителен отговор, но няма по-кратък начин да се пресметне. А тук ставаше въпрос за 10%. Ако трябва да пресметнем с 9,3%, става дори по-сложно. В следващото видео ще разгледам обяснението на така нареченото Правило 72, което представлява приблизителен начин да се отговори на въпроса: "След колко време ще се удвоят парите ти?" Ще видим колко добро е това предположение в следващото видео.