Задача с повишена трудност с комплексни числа (1 от 3)

Нека z1 и z2 са две различни комплексни числа и z = (1 – t)z1 + tz2, където реалното число t е между 0 и 1. Ако с аргумента (w) означим аргумента на комплексно число w, различно от нула, този аргументът е един вид ъгълът, който позиционният вектор образува с реалната ос за комплексното число в комплексната равнина. Нека го начертая. И ако направим една диаграма на Арганд... Това е имагинерната ос, а това е реалната ос. Ако това е нашето комплексно число z, това е аргументът му, аргументът за z ще бъде този ъгъл тук. φ = Arg (z). Това е всичко, което ни казват във втората част. Нека проверим всеки от отговорите и да видим дали са верни, нека да поясня, че това е една от тези задачи, при които може да е верен повече от един отговор. Така че нека видим дали са верни. Нека първо намерим колко е |z – z1|. Нека запиша. Нека първо направим частта z. Ще го запиша в същите цветове. Ако мога да се фокусирам първо само върху z, z е това тук и нека разкрия скобите и умножа по това z1. Това е z1 – tz1 + tz2 и от това искаме да извадим z1. От това искаме да извадим z1, тоест минус z1. Това и това се унищожават и да видим какво имаме. Можем да изнесем t ето тук и това ще е равно на |t (z2 – z1)|. Този първи член тук е |z – z1|. Нека намерим |z – z2|. И ще го кодирам в цветове. |z – z2| е равно на... z е просто това тук горе и нека го запиша. Така че това е (1 – t)z1 + tz2, това е z. И от това искаме да извадим z2. |(1 – t)z1 + tz2 – z2|. Какво можем да направим тук? Можем да изнесем t – 1, можем да изнесем z2 от тези два члена. Това ще е равно на дължината на (1 – t)z1, това е този член тук, плюс... нека го направя в друг цвят – плюс (t – 1)z2. Дължината на тази част тук е това нещо тук. Нека сега видим какво се случва, когато съберем това и това. Това прави отговор А – добавя това към това. Да видим дали можем да го опростим. Това става |t(z2 – z1)| +... Ще направя всичко това тук в пурпурно. Плюс това нещо тук. И цялото това, дори преди да го запиша, можем ли да го опростим? Имаме 1 – t и t – 1. Просто ще го запиша тук. Но ще го променя малко. Това е равно на дължината на (1 – t)z1 и тук имам 1 – t, така че ще поставя отрицателен знак отпред. Тоест –(1 – t), просто променям местата им и –(1 – t) е същото нещо като +(t – 1) и имаме z2. И после това тук, след като (1 – t) е отпред, това става дължината на...изнасям (1 – t). |(1 – t)(z1 – z2)|. Така че имаме това – нека го копирам и поставя – имаме това плюс това. До това се опростява израз А. Да видим дали можем да опростим това още повече. t е просто скаларна височина и е между 0 и 1. Ето тук ни казват, че t е между 0 и 1. Така че това е положителна стойност и това тук ще е положителна стойност. t е по-голямо от 0 и е по-малко от 1. Така че това също ще е положителна стойност. Те са просто скаларни величини, така че това ще е същото нещо. Тези просто определят дължината. Така че това ще е същото нещо, те са положителни стойности. Нека не пропускам стъпки. Това ще е същото нещо като |t| |z2 – z1|, понеже просто го мащабира, плюс |1 – t| |z1 – z2|. Нека поясня, |z1 – z2| ще е равно на |z2 – z1|. Тези вектори сочат в различни посоки – или тези комплексни числа – едното е отрицателната стойност на другото, но абсолютните им стойности, или дължините им, ще са еднакви. Нека запиша |z2 – z1| тук. Причината да го направя е да получа едно и също нещо тук и мога да го изнеса. |z2 – z1| е същото нещо като |z1 – z2| и просто сочи в противоположната посока. Какво можем да направим тук? |t|, помни t е положително, така че това просто ще е равно на t. |1 – t| отново е положително, така че това просто ще е 1 – t. Можем да изнесем това и ще получим t + (1 – t) по |z2 – z1|. t и t се изключват взаимно, имаме само 1 отпред, така че това е равно на |z2 – z1|. Можем да видим, че отговор А върши работа. Това плюс това наистина е равно на това. И ще приключим тук, а в следващото видео ще проверим някои от другите възможности, за да видим дали и те са верни.