Преобразуване на вектори с помощта на матрици

Да кажем, че имаме позиционен вектор P, който е равен на или представен като вектор-стълб, равен е на [2, 1]. Ако искаме да го начертаем... всъщност нека го направя. Хайде да го начертаем. Това ще е моята ос у, а това ще е моята ос х. Ако предположим, че първият елемент тук е координатата х... 1, 2 и после 1. Нашият позиционен вектор ще бъде тук. Можем да го представим по този начин, като опашката е в началото на координатната система, а върхът, т. нар. глава, е в тази точка, или можем да кажем, че тя всъщност представя тази позиция в координатната система. В това видео искам да приложа трансформация на този позиционен вектор. Това, което ще направя, е да умножа нашия вектор P, по една матрица и тогава полученото произведение ще ми даде друг позиционен вектор. Какво имам предвид? Имаме трансформираща матрица, главно Т, и нека кажем, че е равна на 2, 1, -1 и 2. Какво ще стане, ако умножа Т по Р? Хайде да го направим сега. Т по Р. Нека първо се уверим, че това всъщност е възможна операция, т.е. дали умножението на матрица и вектор тук е дефинирано. Нека разгледаме как изглеждат Т и Р. Ще копирам и поставя. Това е Т, а това е Р. Копирам и поставям. Можем ли да умножим матрица 2 х 2 по вектор-стълб като този, който може да се разглежда като матрица 2 х 1. Знаем, че умножението на матрици е дефинирано само когато... Или поне конвенционалното умножение на матрици е дефинирано само когато броят на колоните от първата матрица е равен на броя на редовете от втората матрица тук. Виждаме, че и двете са 2. Ще се получи матрица 2 х 1. Интересното тук е, че това е друг вектор-стълб. Това е друг позиционен вектор. Взехме този вектор Р, умножихме го по този трансформиращ вектор и получихме друг вектор 2 х 1, който можем да разглеждаме като позиционен вектор и да го начертаем. Това, което по същество се случи, е че този трансформиращ вектор премести тази точка. Дава ни нова точка. Да помислим каква ще е тя. За първия елемент тук основно работим с първия ред и първата, единствената колона. Нека използвам цвят, който не съм използвал още. Ще разглеждаме този ред и тази колона. Ще бъде 2 по 2, което е 4, плюс 1 по 1, което е 1. Това ще бъде равно на 5. За втория елемент тук ще използваме втория ред и първата колона. Ще работим с втория ред тук и единствената колона тук. –1 по 2 е –2, плюс 2 по 1, което е 2. –2 плюс 2 е просто 0. Сега имаме позицията(5; 0), което е тук. 1, 2, 3, 4, 5. Започнахме с тази точка, този позиционен вектор Р, и го трансформирахме в този друг позиционен вектор. Можем да го наречем Р'. Ако искаме да ги начертаем като вектори... Това тук е нещо като стандартна форма за вектор. Това тук е Р', а това тук е Р. Това тук е Р. Това всъщност е Р. Нека се уверя, че има прим. Това е Р'. Трансформирахме Р в Р', използвайки трансформираща матрица.