Основно съдържание

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 20

Урок 2: Представяне на система от линейни уравнения чрез разширени матрици

Представяне на системи от линейни уравнения чрез матрици

Научи как системите от линейни уравнения могат да бъдат представени чрез разширени матрици.

Матрица е правоъгълна подредба на числа в редове и стълбове (колони).

Матриците могат да се използват за решаване на системи от уравнения. Но първо трябва да се научим да представяме системи чрез матрици.

Представяне на линейна система чрез матрици

Система от уравнения може да бъде представена чрез разширена матрица.

В една разширена матрица един ред представя едно уравнение от системата, а всеки стълб (колона) представя една променлива или константа.

По този начин ние можем да видим, че разширените матрици са кратък начин за записване на системи от уравнения . Подредбата на числата в матрицата прави ненужно използването на различни символи като

x

y

=

, и все пак цялата информация е там!

Провери знанията си

1) Коя матрица представя системата?

\begin{aligned} 2 x + 3 y & = 8 \\ 5 x + 2 y & = 2 \end{aligned}

2) Напиши следната система от уравнения с разширена матрица.

\begin{aligned} 7 x + 4 y & = 3 \\ 6 x + 3 y & = 5 \end{aligned}

Нека погледнем друг пример

Сега като знаем основите, нека да погледнем малко по-сложен пример.

Пример

Представи следната система от уравнения с разширена матрица.

$\begin{aligned} 3 x - 2 y & = 4 \\ x + 5 z & = - 3 \\ - 4 x - y + 3 z & = 0 \end{aligned}$ ‍

Решение

За да стане по-лесно, нека да препишем системата и да покажем ясно всички коефициенти. Ако една променлива не е написана в уравнението, това означава, че коефициентът е

0

$\begin{aligned} 3 x & + (- 2) y + 0 z = 4 \\ 1 x & + 0 y + 5 z = - 3 \\ - 4 x & + (- 1) y + 3 z = 0 \end{aligned}$ ‍

Това отговаря на следната разширена матрица.

Забележи как отново всяка колона отговаря на променлива (

x

y

z

) или на

константите

. Също забележи, че числата във всеки ред отговарят на коефициентите в същото уравнение.

Като цяло, преди да преобразуваш една система в разширена матрица, се увери, че променливите са поставени в правилния ред във всяко уравнение, и че константите са отделени от едната страна.

Провери знанията си

3) Коя матрица представя системата?

\begin{aligned} 3 w - 2 x + y + 5 z & = 10 \\ w + 2 y - 4 z & = 5 \end{aligned}

Увери се, че си подредил променливите, преди да пренесеш коефициентите им в матрицата.

За да стане по-лесно, нека препишем системата и да покажем ясно всеки коефициент.

\begin{aligned} 3 w & + (- 2) x + 1 y + 5 z = 10 \\ 1 w & + 0 x + 2 y + (- 4) z = 5 \end{aligned}

Сега можем да видим, че това отговаря на следната разширена матрица:

[\begin{array}{rr} 3 & - 2 & 1 & 5 & 10 \\ 1 & 0 & 2 & - 4 & 5 \end{array}]

Това е първият вариант.

Забележи, че вторият вариант просто подрежда коефициентите както са, без да нарежда променливите в колони.

4) Представи следната система от уравнения с разширена матрица.

$\begin{aligned} - a + b - 2 c & = 12 \\ 3 a + b & = - 8 \end{aligned}$ ‍

Задачи с повишена трудност

5) Коя система е представена от разширената матрица ?

[\begin{array}{rr} 0 & - 3 & - 5 & 8 \\ 4 & 1 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & - 1 & 0 \end{array}]

В една разширена матрица всеки ред представя едно уравнение от системата, а всеки стълб (колона) представя коефициентите на една променлива или константите.

Затова

[\begin{array}{rr} 0 & - 3 & - 5 & 8 \\ 4 & 1 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & - 1 & 0 \end{array}]

⟶

\begin{aligned} 0 x & + (- 3) y + (- 5) z = 8 \\ 4 x & + 1 y + 1 z = 2 \\ 5 x & + 2 y + (- 1) z = 0 \end{aligned}

Това се опростява до следната система от уравнения.

$\begin{aligned} - 3 y - 5 z & = 8 \\ 4 x + y + z & = 2 \\ 5 x + 2 y - z & = 0 \end{aligned}$ ‍

6) Коя матрица представя системата?

\begin{aligned} 3 x + 2 & = 12 y \\ - 8 y & = 2 x + 15 \end{aligned}

Тази задача се различава с това, че уравненията от системата сега не са в стандартен вид. Нека започнем с довеждането на всяко уравнение в стандартна форма. Това ще помогне да наредим променливите и константите.

Преработването на първото уравнение в стандартна форма ни дава:

$3 x + 2 = 12 y ⟶ 3 x - 12 y = - 2$ ‍

Преработването на второто уравнение в стандартен вид ни дава:

$- 8 y = 2 x + 15 ⟶ - 2 x - 8 y = 15$ ‍

Следователно системата ще изглежда така:

\begin{aligned} 3 x & + (- 12) y = - 2 \\ - 2 x & + (- 8) y = 15 \end{aligned}

Това отговаря на следната разширена матрица, или матрица

C

[\begin{array}{rr} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & - 8 & 15 \end{array}]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.