Прекъснатост на рационални функции

Тук имаме тази функция f(х), изразена като рационален израз или зададена чрез рационален израз. И ни казват: "При всяка от следните стойности на х, избери дали f има нула, вертикална асимптота, или отстранима точка на прекъсване." И преди дори да разгледаме отговорите, понеже невинаги ще имаш тези варианти тук, понякога може просто да трябва да идентифицираш вертикалните асимптоти или нулите, или подвижните прекъсвания, така че просто ще разложа това. И ще разложа числителя и знаменателя, за да направя нещата малко по-ясни. И ще помислим при кои стойности на х числителят и/или знаменателят ще бъдат равни на 0. Мога ли да разложа числителя? Да видим. На кои две числа произведението е -24, а сборът им е -2. Това ще са -6 и +4. Можем да преобразуваме това като (х - 6)(х + 4). Правилно ли направих това? -6 по 4 е 24. -6х плюс 4х е -2. Да, това е вярно. Сега в знаменателя, да видим, 6 по 4 е 24, а 6 плюс 4 е 10. Така че можем да кажем: (х + 6) по (х + 4). Нека първо разгледаме числителя. Числителят е нула, ако х е равно на +6 или ако х е равно на -4. Знаменателят е 0, ако х е равно на -6 или ако х е равно на -4. Нека помислим върху това. Можем ли да опростим това тук горе поне малко? Помни това, което току-що написах. Може да ти се набие на очи, че имаш (х + 4), делено на (х + 4), и защо да не опростим малко този израз и просто да запишем това тук, целия първоначален израз, като (х - 6) върху (х + 6). Ако искаме да е алгебрично еквивалентно, трябва да ограничим дефиниционното множество, където х не може да е равно на -4. Това е интересно, понеже преди, когато х = -4, имахме 0/0. И успяхме да премахнем това и успяхме да направим това допълнително условие. И ако начертаеш графика, това ще бъде отстранима точка на прекъсване. Точка на прекъсване, само една точка, където функцията не е зададена. Това е типична ситуация, при която има нещо, което можеш да изнесеш, и което е правило числителя и знаменателя равни на нула, но можеш да изнесеш това и то вече няма да ги приравнява на 0. Това ще е отстранима точка на прекъсване. х = -4 е отстранима точка на прекъсване. И след като изнесох всички неща, които биха направили това отстранима точка на прекъсване, тогава можеш да помислиш кое ще е нула и кое ще е вертикална асимптота. След като изнесеш всичко, което присъства и в числителя, и в знаменателя, ако от това, което остане, нещо прави числителя равен на нула, тогава то ще направи целия този израз равен на нула, така че си имаш работа с нула, като х = 6. 6 ще направи числителя равен на 0. 6 - 6 е 0. Следователно си имаш работа с нула. И за да може знаменателят да е равен на нула, х ще е равно на -6. Това ще направи знаменателя равен на нула, така че това е вертикална асимптота. Нарича се вертикална асимпота, понеже докато доближаваш тази стойност, докато доближаваш -6 или от стойности по-малко от -6, или от стойности по-големи от -6, знаменателят ще стане или много, много, много малко положително число, или много, много, много малко отрицателно число, така че ще доближим 0 или от горе, или отдолу, така че когато разделиш на това, ще получиш много големи положителни стойности или много големи отрицателни стойности. Така че графиката ще прави нещо подобно. Имаш вертикална асимптота. Тя може или да направи нещо подобно, или може да направи нещо такова, при което това е вертикалната асимптота, а после, когато я доближиш оттук, тя тръгва рязко нагоре ето така. И в двата случая, това е причината това да е вертикална асимптота. Нека направим друг пример. Добре, тук целта е същата и, както преди, спри видеото и виж дали можеш да решиш това самостоятелно. Нека разложа това. Да видим, две числа, произведението е -32. Те ще имат различни знаци – 8 и 4. И после искаме по-голямата стойност да е положителна, след като трябва да дадат сбор от +4х. (х + 8) по (х - 4). Да, това е вярно. И после делено на – 4 по 4 е 16. -4 плюс -4 е -8. Така че това е (х - 4) по (х - 4). Това е много, много интересно, понеже може да си кажеш: "Имаме (х - 4) и може би х=4 е отстранима точка на прекъсване." Щеше да е така, ако нямаше това нещо тук, понеже х=4, след като разложиш това... Функцията в този случай няма да е зададена, когато х = 4. Тази функция всъщност е равносилна на (х + 8) върху (х - 4). Не трябва да поставям това допълнително малко ограничение, както направих преди. Не трябва да поставям това ограничение, което описва тази отстранима точка на прекъсване, понеже ограничението все още е тук, след като изнесох всичко, след като съкратих това (х - 4) с това (х - 4). Това всъщност е алгебрично равносилен израз на този тук. И сега можем да помислим кои са нулите или вертикалните асимптоти, или подвижните прекъсвания. Нещо, което прави този числител 0, без да прави същото със знаменателя, ще е нула. И х = -8 прави числителя равен на нула, без да прави знаменателя равен на 0. Тя ще направи знаменателя -12. Така че просто можеш да изчислиш h(-8), равно на 0 върху -12, което пак е равно на 0. Ето защо наричаме това нула. А х = 4? х = 4 ще направи само знаменателя равен на 0, така че това ще ни даде вертикална асимптота. И сме готови.