Въведение в линейни системи с три променливи

Решете системата. Тук имаме три уравнения с три неизвестни. И начина, по който можете да представите това, е всяко от тези уравнения всъщност ще бъде равнина в три измерения. Така че, вие всъщност се опитвате да намерите, къде се пресичат трите равнини в трите измерения. Няма да навлизам в подробности тук. Ще се съсредоточа повече върху изчисленията, но може да си го представите, ако бях начертал триизмерно пространство тук. Сега изведнъж имаме х, у и z оси. Така че, може да си представите, че може би тази първа равнина и аз не я чертая по начина, по който може всъщност да изглежда. Тя може да изглежда като нещо подобно - Чертая само част от равнината. И може би тази равнина тук. Тя пресича точно ето там и се появява ето така и след това отива зад нея ето така. Тя продължава в всички посоки. Аз просто чертая една част от равнината. И може би тази равнина тук, може би тя прави нещо подобно. Може би тя я пресича ето тук и ето тук. Така че се появява ето така и след това отива под нея ето така и след това се движи така. Правя това просто за целите на зрителната представа. И така, пресичането на тази равнина - координатите х, у и z, които ще удовлетворяват всичките три от тези ограничения, по начина по който съм и начертал - ще бъде точно ето тук. Това е, което търсим. И много пъти тези три системни уравнения с три неизвестни ще бъдат противоречиви. Няма да имате решение тук, защото е много възможно да имате три равнини, всички от които не се пресичат на едно място. Много прост пример за това е ами, първо - те могат всички да бъдат успоредни една на друга или могат да се пресичат взаимно, но може би се пресичат в някакъв вид триъгълник. Така че, може би една от равнините изглежда така, после другата равнина може би се появява така, отива отдолу. И после може би третата равнина се врязва вътре. Тя прави нещо подобно: където отива в тази равнина и продължава ето така, но пресича тази равнина ето тук. И така, виждате някаква форма на триъгълник и и те не се пресичат всичките в една точка. Така че, в тази ситуация, ще имате противоречива система. С това насреща, нека се опитаме всъщност да решим тази система. И номерът тук е да се опитаме да елиминираме една от променливите наведнъж от всичките уравнения, уверявайки се, че имате информацията от всичките три уравнения тук. Това, което ще направим е може би - изглежда, че най-лесно да се елиминира, тъй като имаме положително у и след това още едно положително у, изглежда че можем да елиминираме у-ците. Можем да съберем тези две уравнения и да получим друго уравнение, което ще бъде само по отношение на х и z. И след това можем да използваме тези две уравнения, за да получим друго уравнение, което ще бъде само по отношение на х и z. Но то ще има цялата информация за ограниченията на х и z, запечатана в нещо, защото използваме всичките три уравнения. Нека го направим. Първо нека съберем тези две уравнения ето тук. Имаме х плюс у, минус 3z е равно на минус 10. И х минус у, плюс 2z е равно на 3. Тук, ако искаме да елиминираме у, можем буквално просто да съберем тези две уравнения. От лявата страна - х плюс х е 2х. у плюс -у се унищожават. И след това -3z плюс 2z -- това ни дава просто -z. И след това имаме минус 10 плюс 3, което е минус 7. Използвайки тези две уравнения, получаваме 2х минус z е равно на минус 7 - просто събираме тези две уравнения. Сега нека направим тези две уравнения. Можем да използваме отново това уравнение, тъй като ще използваме друга информация тук. Сега използваме допълнителното ограничение от това долно уравнение. Имаме х минус у, плюс 2z е равно на 3. И имаме 2х плюс у, минус z е равно на минус 6. Ако искаме да елиминираме у-ците, можем просто да съберем тези две уравнения. х плюс 2х е 3х. Минус у плюс у се унищожават. 2z минус z -- ами това е само z. И това ще бъде равно на 3 плюс -6, което е -3. Ако събера тези две уравнения, получавам 3х плюс z е равно на минус 3. Сега имам система от две уравнения с две неизвестни. Това е малко по-традиционна задача. Нека ги напиша ето тук. Имаме 2х минус z е равно на минус 7. И след това имаме 3х плюс z е равно на минус 3 и начина, по който е формулирана тази задача, това става много просто, много бързо, защото ако просто съберем тези две уравнения, z ще се анулират. В противен случай, ако не стане така естествено, ще трябва да умножим едно от тези уравнения или може би и двете, по някакъв приравняващ множител. Но ние можем просто да съберем тези две уравнения. От лявата страна - две х плюс три х е 5х. Минус z плюс z се анулират. Минус 7 плюс -3 -- това е равно на -10. Разделяме двете страни на това уравнение на 5 и получаваме х е равно на -2. Сега можем да заместим обратно, за да намерим другите променливи. Може би можем да заместим обратно в това уравнение, за да намерим, на колко трябва да бъде равно z. Имаме 2 по х. 2 по -2 минус z е равно на минус 7. Или минус 4 минус z е равно на миус 7. Можем да добави 4 от двете страни на това уравнение и след това получаваме минус z е равно на минус 7 плюс 4, което е минус 3. Умножаваме или разделяме двете страни по -1 и получавате z е равно на три. И сега можем да отидем и да заместим в едно от тези първоначални уравнения. Имаме х. Знаем, че х е минус 2. Така че имаме -2 плюс у, минус 3 по z. Добре, знаем, че z е 3 -- така че минус 3 по 3 би трябвало всичкото да е равно на минус 10. И сега просто намираме у. Получаваме -2 плюс у, минус 9 е равно на -10. И така, минус 2 минус 9, това е минус 11. Така че, имаме у минус 11 е равно на минус 10. И след това можем да добавим 11 към двете страни на това уравнение. И получаваме у е равно на минус 10 плюс 11, което е 1. Така че сме готови! Получаваме х е равно на минус 2. z е равно на три и у е равно на едно. Сега мога всъщност да се върна назад и да го проверя. Да проверя дали тези х, у и z отговарят на всичките три ограничения, дали тези три измерими координати лежат на всичките три равнини. Нека го проверим. Имаме х е минус 2, z е три, у е едно. Ако заместим - нека го направя за всяко едно от тях - и така, във това първо уравнение това означава, че имаме минус 2 плюс 1 -- не забравяйте, че у беше равно на 1. Нека го напиша тук -- у е равно на 1, х е равно на -2, z е равно на 3. Това беше резултата, който получихме. Да, това е резултата който имахме. Когато го проверим в това първото, имате -2 плюс 1, минус 3 по 3. И така, минус 9. Това трябва да бъде равно на -10. И то е. Минус 2 плюс 1 е -1, минус 9 е минус 10. Така че, това отговаря за първото. Нека опитаме за второто уравнение тук. Имаме -2 минус у /минус 1/, плюс 2 по z /z е три, така че 2 по 3/. Плюс 6 трябва да бъде равно на 3. Това е минус 3 плюс 6, което наистина е равно на 3. Така че, това удовлетворява второто уравнение. И след това имаме последното тук. Имаме 2 по х, така че 2 по -2, което е -4. Минус четири. Плюс у, така че плюс 1. Минус z, минус 3. Минус три. Трябва да бъде равно на минус 6. Минус 4 плюс 1 е минус 3 и след това изваждате отново 3. Това е равно на минус 6. Това удовлетворява всичките три уравнения, така че можем да се чувстваме наистина добре с нашия отговор.