Въведение в граници на функции (старо)

Добре дошли на презентацията за граници. Нека да започна с няколко - добре, първо обяснение преди да правя някакви задачи. Нека кажем, че имах - само да се уверя, че съм с правилния цвят и писалката ми работи. ОК, нека кажа, че имах граница и ще обясня какво е граница след секунда. Начина по който го пишете е: казвате границата - о, цвета ми е грешен - ОК, нека да използвам писалката и жълто. Добре, границата, когато x клони към 2 от х на квадрат. Всичко което показва това е, каква стойност достига изразът х на квадрат, когато x клони към 2? Това е доста лесно. Ако погледнем - нека поне начертая графика. Ще остана с този жълтия цвят. Нека да начертая. x на квадрат изглежда нещо подобно - нека използвам различен цвят. x на квадрат изглежда по този начин, нали? И когато х е равно на 2, y или израза - защото не казваме, на какво е равно това. Това е просто израз - х на квадрат е равно на 4, нали? Така че, границата казва, че когато x клони към 2, от двете страни, от числа от ляво на 2 и от числа отдясно на 2, каква е стойността на израза? Мисля, че може би вече виждате, накъде отива това и се чудите, защо трябва да се тормозим, изучавайки тази нова концепция, защото изглежда доста очевидна, но при x - колкото по-близо и по-близо х достига до 2 от тази страна и колкото по-близо и близо х достига 2 от тази страна, на колко е равен този израз? Ами, той всъщност се равнява на 4, нали? Изразът е равен на 4. Начина, по който аз мисля за това е: когато се движите по кривата по-близо и по-близо до стойността на израза, на какво е равен израза? В този случай е равен на 4. Вероятно казвате: Сал, това изглежда като безполезна концепция, защото може да имам написано само 2 там, но аз знам, че ако това е - да речем, че това е f от x - ако f от x е равна на x на квадрат, тогава f от 2 е равна на 4 и това би било прекалено лесно. Добре, може би ще ви дам една подсказка за това и се надявам, че сега ще започнете да виждате, за какво се използва границата. Нека да определя - да кажем f от х е равна на x на квадрат, когато, ако x не е равно на 2 и кажем, че е равно на 3, когато х е равно на 2. Интересно. Това е леко изменение на този израз тук. Това е нашата нова f от x. Така че, нека да ви задам един въпрос. Каква е - писалката ми все още работи - каква е границата - ще използвам курсив този път - каква е границата когато x - това е x - когато x клони към 2 на f от x? Това е х. Казва се, че x клони към 2. Това е просто като това. Добре, нека сега да начертая графиката на това. Тази изглежда по същия начин, като тази, която нарисувах. Нека я нарисувам. Сега тя е почти същата като тази крива, с изключение на това, че нещо интересно се случва, когато x е равно на 2. Това е нещо подобно. Тя е като кривата на х на квадрат, но когато x е равно на 2 и f от х е равна на 4, ще нарисуваме малка дупка. Нарисувахме дупка, защото не е определена, когато x е равно на 2. Това е х = 2. Това е 2. Това е 4. Това е оста на f от x, разбира се. И когато х е равно на 2 - да речем, че това е 3. Когато х е равно на 2, f от х е равна на 3. Това е всъщност точно под него. Трябваше да - не изглежда точно под него, но мисля, че получихте обща представа. Вижте, тази графика е x на квадрат. Това е точно x на квадрат, докато не стигнем до x равно на 2. Когато x е равно на 2, имаме grap - Не, не grap. Имаме една дупка в графиката, която може би може да се нарече grap. Имаме пропуск в графиката и после продължаваме - и след това, след x равно на 2, продължаваме да се движим. И тази пропаст, тази дупка точно тук определя, какво се случва, когато х е равно на 2? Тогава f от х е равна на 3. Тази графика е един вид - тя е точно като x на квадрат, но вместо f от 2 да е 4, f от 2 пада до 3, но след това продължава. Така че, връщайки се назад към задачата за границата, каква е границата, когато x клони към 2? Сега, нека да помислим за същото нещо. Ще отидем до - това е начина, по който ще го представя. Когато x клони към 2 от тази страна, от лявата страна или от числа по-малки от 2, f от x достига стойности клонящи към 4, нали? f от x достига до 4, когато х клони към 2, нали? Мисля, че виждате това. Ако просто продължите по кривата, когато наближите f от 2, вие се доближавате по-близо и по-близо до 4. По същия начин, ако отидете от дясната страна - само да се уверя, че моето нещо все още работи. Ако отидете от дясната страна, движите се по кривата и f от х също така бавно приближава 4. Така че, както можете да видите, когато отиваме по-близо и по-близо и по-близо до x равно на 2, f от каквото и да е число достига 4, нали? Така че, в този случай, границата от x клонящо към 2 е равно на 4. Това е интересно, защото в този случай, границата от x клонящо към 2 на f от x, не е равна на f от 2. Нормално това трябваше да бъде на тази линия. В този случай, границата, която достига изразът е равна на, т.е. стойността на израза... В този случай границата я няма. Мисля, че сега започвате да разбирате, защо границата е малко по-различна концепция, отколкото просто да намерим стойността на функцията при тази точка, защото имате функции при които, поради някаква причина в определена точка, независимо че функцията може да не бъде определена или един вид скача нагоре или надолу, но когато достигнете тази точка, вие все още достигате стойност, различна от функцията в тази точка. Това е моето въведение. Мисля, че това ще ви даде представа за това, какво е граница. В друга презентация, ще ви дам повече формулирано математически, делта-епсилон определение за граница. Всъщност, в някой от по-следващите модули, сега ще направя няколко задачи, включващи границите. Мисля, че колкото повече задачи решавате, ще получавате все повече и повече представа за това, какво е граница. И после, когато стигнем до материала за производни и интеграли, всъщност ще разберете, защо хората са измислили границите. Ще се видим в следващата презентация.