Модели на растеж: въведение

Да поговорим още малко за моделирането на популации. Тук са показани портретите на двама известни учени. Господинът отляво е най-известното име, за което се сещаме, когато става въпрос за популация и за границите на нейното нарастване. Това е Томас Малтус. Той е бил британски духовник, писател и учен от края на XVIII век и началото на XIX век. Той е променил мнението, че популацията може да нараства безкрайно, и че винаги ще можем чрез технологии да се изхранваме; формулира, че околната среда в един момент ще постави граница на това доколко може да нарастне една популация. Другият учен е П. Ф. Ферхюлст. Все не успявам да произнеса името му правилно. Той е белгийски математик, който прочел работата на Малтус и опитал да моделира поведението, за което говорел Малтус: че когато няма ограничения от околната среда, популацията вероятно нараства експоненциално, но когато доближи границите, поставени от околната среда, тя достига до асимптота, до определена стойност на популацията. Всъщност Малтус не мисли, че ще има ясно изразена асимптота, според него популацията ще премине над тази граница и ще се случи катастрофа, след което броят драстично ще намалее под границата, т.е. ще има колебание около тази граница чрез такива катастрофи. Може да си помислиш, че Малтус е бил голям оптимист, но нека да преминем към математиката с малко диференциални уравнения, които са сравнително прости и представят популацията. Първият начин, по който можем да си представим популацията, ще представя чрез диференциално уравнение. Нека първо да наименувам променливите. Отбелязвам с N големината на популацията, това е нашата популация. Приемаме, че N е функция на Т. N(T) това ще използваме в това видео и в следващата серия видеа. Един начин е да проследим скоростта на промяна на населението спрямо времето. Как е връзката ѝ с променливите? Каква е скоростта на промяната на населението спрямо времето? d от N върху dТ. Един начин да си я представим е като пропорционална на популацията. Можем да кажем, че това е някаква константа на пропорционалност, умножена по самата популация. Това е логично, когато популацията е по-малка или когато няма значима промяна за единица време при по-голяма популация. Колкото по-голяма е популацията, толкова повече тя нараства за дадена единица време. Това всъщност е доста лесно за решаване диференциално уравнение, може да ти е познато от преди. Приканвам те да поставиш видеото на пауза, ако имаш вдъхновение да го решиш самостоятелно. А сега аз ще го реша тук. Ще видиш, че тук получаваме показателна функция за N. Да я намерим. Да решим това, като по такъв начин отделим променливите, да разделим N от Т, което тук присъства само като dT. Ще направя това след малко. Разделям двете страни на N. Получавам 1 върху N, а като умножа двете страни по dT, като приема dT за величина, която може да се умножава... ще получа това, умножавам двете страни или ще разделя двете страни на N и умножавам двете страни по dT, получавам 1 върху N по dN от лявата страна, а отдясно получавам R по dT. Забележи, че получих dT от дясната страна, като умножих двете страни по него и като разделих на N, a тук получих 1 върху N. След като получихме тази форма, можем да намерим примитивната функция на всяка от двете страни. Намираме примитивната функция на двете страни и какво получаваме за лявата страна? Тя е натурален логаритъм на абсолютната стойност на популацията. Ако приемем, че популацията винаги е положителна, то можем да премахнем абсолютната стойност. Но това след малко. Имаме равно на R по Т. Тук можехме да добавим константата, но ще я оставя само от едната страна. Това става R по Т плюс С. Сега, за да намерим N, можем да вземем... Ако това е равно на Неплеровото число Е на тази степен, това трябва да е равно на числото Е на тази степен. Друг начин да разглеждаме това е, че натуралният логаритъм от абсолютната стойност на N е равен на това. Тоест Е на степен този израз ще е равно на това. Нека го направя така. Ще повдигна Е на степен този израз. И на този израз. Щом тези двете са равни, то Е на степен израза отляво ще е равносилно на Е на степен израза отдясно. Ще стане Е на степен натурален логаритъм от абсолютната стойност на N, което е равно на абсолютната стойност на N, и ако приемем, че N е положително число, тоест ако популацията е по-голяма от нула, тогава лявата страна на уравнението ще се опрости до N. A дясната страна ще стане... числото Е на степен RT + С, същият този израз. Този израз тук е равносилен на числото Е на степен R по Т умножено по... нека запазя цвета на Е... умножено по Е на степен С. Нали така? Повдигам числото Е на сбора от тези две степени. Ще се получи произведение на Е на степен всяко събираемо. Да погледнем, че всъщност Е на степен С също е някаква произволна константа. Можем да я наречем просто С. Става Е на степен RT по С. Или в по-удобен вид, С по Е на степен RT. Забележи, че решихме това диференциално уравнение. Не сме стигнали до онази не особено оптимистична реалност, описана от Малтус, където ограничаваме популацията. Тук намерихме само зависимост на популацията, тоест на скоростта на нейната промяна спрямо времето, ако тя е пропорционална на популацията. Като решихме това диференциално уравнение, получихме, че популацията е функция на времето. Нека го изразя по-явно, това е функция на времето. Нашето N ще стане, да го запишем така, N от T ще е равно на това. Това беше решението на диференциалното уравнение. И така, тази функция расте неограничено. Имаме някои начални условия: например, знаем N от нула, това за времето T=0. Бележим го с N нула. Можем ли да намерим С? N нулево ще е равно на С по Е на степен нула. Последното знаем, че прави 1. Значи това е равно на С. Получихме С равно на N нула. Вече можем дори да го запишем: решението на това уравнение е N като функция на Т. Тази функция е равна на константата по... тази константа е началната популация N нула, умножена по Е на степен RT. Това е показателна функция. Как ще изглежда нашата популация? Да начертаем нейната графика. Това е оста на времето, а това е оста на N. Мога да кажа, че отбелязвам N по оста Y, но мога и директно да отбележа оста. Тази точка е началното състояние N нула и популацията ще расте експоненциално от нея. Наклонът на тази експоненциална функция ще се определя от ето тази константа R. Функцията има такъв вид: тя расте все по-бързо все повече до безкрайност. Както споменах в началото на този урок, Малтус не е вярвал, че това е вярно. Той смята, че ще се достигне някаква естествена граница, която ще започне да ограничава популацията. Според него по-естествената, или по-реалистичната функция, която да е модел на популацията, ще изглежда по такъв начин. Дори би могла да е такава, че постоянно да се срива около такъв тип граница. В следващия урок ще видим идеята на П. Ф. Ферхюлст, който намира едно много добро диференциално уравнение и неговото решение, което описва доста по-добре идеята, която Малтус има за реалността.