Запознаване с понятието конволюция

В настоящия урок ще въведем понятието конволюция. Понятието е едно от първите, с които математиците наричат процес, който е сходен с това, което наистина прави. Действително свързваш и заплиташ функциите. В настоящия урок няма да изследваме в дълбочина логическата същност, свързана с понятието конволюция, защото има много различни начини, по които да се разглежда това. Има множество различни приложения, а ако станеш инженер в какъвто и да е сектор, ще се срещнеш с дискретна конволюция или непрекъсната конволюция и много други различни форми. В настоящия урок просто искам да се запознаеш с понятието конволюция, особено в контекста на трансформацията на Лаплас. Преди въобще да се захванем с теоремата за конволюция, нека дефинираме какво въобще е конволюция. Нека е дадена една функция f от t. Ако оплитам две функции f и g, това означава, че търся конволюция от f и g, (звездичката (*) е знак за конволюция) която е функция от t. Дотук нищо от това, което написах, не е разбираемо за теб, защото не съм дефинирал какво наистина означава това. Това е като една от задачите за SAT, в които дават например а "знак триъгълник" b, равно на a плюс b върху 3, когато лежи на един катет, или нещо подобно. Следва да дефинирам конволюцията по подобен начин. Нека да изтрия тази глупост, която току-що написах. Определението за конволюция, което ще дадем – всъщност има няколко определения, както ще видиш – но определението, което ще използваме, в този контекст е това, което се използва в случаите на непрекъснатост, и то е интеграл от 0 до t, от f от (t – τ) (тау), по g от t. Просто ще го напиша. Извинявай! Умножаваме по g от τ, dτ. Това може би ти изглежда като нещо много странно, и може би се чудиш как дори ще изчислиш някое от тези неща. И за да разбереш това, нека действително изчислим една конволюция. Наистина е трудно да намерим функции, които лесно могат да се изчислят аналитично, и ще видиш, че ще използваме много тригонометрични тъждества, за да ги изчислим. Дефинираме f от t да е равно на sin от t, и дефинирам cos от t – ще го запиша с оранжево – дефинирам g от t да бъде равно на cos от t. Нека сега да свържем двете функции с конволюция. Конволюцията на f и g, която е функция от t, е равна на ето този израз. Ще ти покажа как се прилага този интеграл. Равно е на интеграл – записвам го в лилаво – интеграл от 0 до t, от f от (t минус τ). Това е функцията f от t. Следователно ще бъде sin от (t минус τ), по g от τ. Това е функцията g от t, така че g от τ ще бъде cos от τ, cos от τ, dτ. Това е интегралът и за да го изчислим, ще използваме тригонометрия. Нека го направим. Това е много добър преговор на тригонометрията и интегрирането. Да изчислим този интеграл. Исках да изчисля този интеграл в настоящия урок, за да ти покажа, че това не е нещо абстрактно, а наистина можеш да изчислиш тези фукцкии. Първото, което искам да направя, е следното. Не знам каква е примитивната функция. Виждаш sin и cos и е изкушаващо да отговорим, че може би са производни една на друга, но това тук е sin от t минус τ. Нека препиша това sin от t минус τ. Просто ще използваме тригонометричното тъждество, което гласи, че sin от t минус τ е равно на sin от t по cos от τ, минус sin τ по cos от t. Всъщност току-що записах урок, в който разглеждам всички тези тригонометрични тъждества, за да ги преговоря за себе си, както и да направя видео урок за тях с по-добро качество. Нека направим това заместване, (подчертава на екрана) което ще намериш във всеки един учебник по тригонометрия или анализ. Получава се, че конволюция от f и g е равно – просто записвам f * g (звезда) – равно на интеграл от 0 до t, а вместо sin от t минус τ, ще запиша този израз ето тук. (посочва на екрана) Записвам sin от t по cos от τ, минус sin τ по cos от t, и всичко това по cos от τ. Следа да бъда внимателен с тези τ и t, или t и τ. Дотук всичко се получава. Нека да видим.Тук има едно dt. О, съжалявам! Това е dτ. Трябва много да внимавам тук. Да разкрием скобите и да умножим по това cos от τ. Какво ще се получи? Получаваме следното. Конволюция от f с g, което е означено с f * g, е равно на интеграл от 0 до t, от sin от t по cos от τ, по cos от τ. Просто умножавам по това cos от τ. Това дава cos на квадрат от τ, и следва минус следното. Нека запишем cos от t първо, защото интегрираме спрямо τ. Записвам cos от t първо. Тогава имаме cos от t по sin от τ, по cos от τ, dτ. И сега, тъй като интегрираме два израза, които изваждаме един от друг, можем да разделим този интеграл на два интеграла. Това е равно на интеграл от 0 до t, от sin от t по cos на квадрат от τ, dτ, минус интеграл от 0 до t, от cos от t по sin τ, по cos от τ, dτ. И какво можем да направим сега? Можем да го опростим още. Припомни си обаче спрямо какво интегрираме. Трябва да бъда внимателен тук. Интегрираме спрямо τ. А ето тук съм записал t. Интегрираме спрямо τ. Тогава всички членове, които съдържат t, например това cos от t, ето тук, са константа. Това sin от t е константа. t може например да е равно на 5. Няма значение, че една от границите на интегриране също така е t. Ако t е равно на 5, то всички тези членове ще бъдат константи. Интегрираме само спрямо τ. Тогава, ако cos от 5 е константа, то можем да я изнесем извън интеграла. Тогава се получава sin от t по интеграл от 0 до t, от cos квадрат от τ, dτ и след това минус cos от t – което е константа и я изнасям пред интеграла – по интеграл от 0 до t, от sin от τ по cos τ, dτ. Тази примитивна функция е сравнително лесна за определяне. Може да използваш интегриране със заместване (u-субституция). Ще го направя ето тук, а не наум. Това е сложна задача, така че не искам да пропускам стъпки. Ако u е равно на sin от τ, тогава du dτ, е равно на cos от τ, т.е. на производната на синус. Можем да запишем също, че du е равно на cos от τ, dτ. После, разбира се... Ще заместим обратно отново, преди да изчислим с границите. Но това беше малко като главоблъсканица. Не знам как се намира примитивната функция на cos квадрат от τ. Не е очевидно на какво е равна. За да я намерим, се налага да използваме още няколко тригонометрични тъждества. В урок, който току-що записах – но може и да не е последното видео в списъка – показах, че cos квадрат τ, като използвам τ само за пример, е равно на 1/2 по 1 плюс cos от 2τ. И отново, това е просто тригонометрични тъждество, което вероятно ще намерим в учебника си по анализ. Можем да направим заместването ето тук, (показва със стрелка) т.е. ето тук, и да проверим, как ще се промени нашия интеграл. Първото заместване – ще го запиша ето тук. Получава се sin от t по интеграл от 0 до t от този израз ето тук. Ще изнеса 1/2 извън интеграла, за да опростя нещата. Поставям 1/2 извън интеграла. Това е ето това 1/2. 1 плюс cos от 2τ, и всичко това е dτ. Това е този интеграл ето тук. След това имаме този интеграл ето тук – минус cos от t, умножено по следния интеграл... Искам да стане ясно. Границите на интеграла тук са от τ равно на 0 до τ равно на t. След това за този израз тук (показва на екрана) използвахме заместване с u. Ако u е равно на sin от t, то тогава това се превръща в u. Показахме на какво е равно du. О, извинявай! u е равно на sin от τ. След това показахме, че du е равно на cos от τ, dτ. Тоест този израз тук е равен на du. (отбелязва със зелено израза на екрана) Тогава тук става u du. Да видим как можем да продължим. Този интеграл или примитивната функция от този израз (показва вляво на екрана изразът в синьо) се намира сравнително лесно. Какво ще получим за нея? Ще запиша ето тази външна част. (пред интеграла) Имаме 1/2 по sin от t. Сега ще намеря примитивната функция на този израз. Ще се получи τ плюс примитивната функция на този израз. Получава се 1/2 по sin от 2τ. Имам предвид, че можехме да използваме интегриране със заместване. Можехме да кажем, че u е равно на 2τ и всичко това. Мисля, че можеш да го разпознаеш, а ако не ми вярваш, просто трябва да намериш производната от този израз. 1/2 sin от 2τ е производната на този израз. Намираме производната на вътрешния израз, т.е. 2 по 1/2 дава едно, така че производната на външната част става cos от 2τ. Ще изчислим тази функция от 0 до t. След това имаме минус cos от t. Да намерим примитивната функция от този израз, ще пиша отстрани. Интеграл от u du, което е много лесно. Равно е на 1/2 по u на квадрат. Това е 1/2 u квадрат, но на какво беше равно самото u? На sin от τ. Тогава примитивната функция от този израз ето тук, (показва на екрана) е 1/2 по u квадрат, a u е sin от τ. Тогава тук става 1/2 u, което е sin на квадрат от τ. Ще изчислим тази функция в границите от 0 до t. Даже не беше необходимо да правим заместването с u. Начинът, по който аз си го представям, ми позволява да разпозная sin от τ и cos от τ. Ако имам функция и производната ѝ, мога да разглеждам производната сякаш имам х, т.е. ще бъде sin на квадрат от τ върху 2, което е точно това, което имаме тук. Изглежда, че сме почти на финалната права. Търсим конволюцията на sin от t и cos от t. И така, получаваме 1/2 по sin от t... Ако сега изчисля този израз за t, то какво ще получа? Получава се t плюс 1/2 по sin от 2t, когато е изчислено за t. Сега от този израз следва да извадя същия, но изчислен за 0. Става минус 0, минус 1/2 по sin от 2*0, което е просто sin от 0. Разглеждаме тази част, т.е. този израз ето тук. До какво се опростява той? Тук имаме 0, sin от 0, т.е. всичко това е 0. Тогава този първи интеграл ето тук се опростява до 1/2 sin от t, по t плюс 1/2 sin от 2t. Добре, до какво се опростява тогава ето този израз тук? (посочва на екрана) В този израз имаме минус cos от t. Ще изчислим целия този израз за t. Получава се 1/2 sin квадрат от t, минус 1/2 sin квадрат от 0, което е просто равно на 0, т.е. тук имаме само минус 0. Дотук всичко, което написахме, се опростява до следното. Ще извърша умножението навсякъде. Имам 1/2 – само ще избера подходящ цвят – 1/2 по t, sin от t – като просто умножавам тези членове – плюс 1/4 по sin от t, по sin от 2t. След това ето тук имам минус 1/2 sin квадрат от t по cos от t. Просто взех минус cos t, умножих го по този израз, и получих ето този резултат. Това е верен отговор, но подозирам, че можем да го опростим дори повече, може би чрез други тригонометрични тъждества. Ето този член тук изглежда, че има нужда от опростяване. (показва на екрана) Знаем, че sin от 2t, което е друго тригонометрично тъждество, което ще намериш в твоите учебници, е равно на 2 по sin от t, по cos от t. Ако заместим този израз в получения резултат, то на какво ще бъде равен целия израз? Получава се този първи член. Нека сляза малко по-надолу. Получава се 1/2 t по sin от t, плюс 1/4 по sin от t по този израз ето тук, т.е. по 2 по sin от t, по cos от t. Просто тригонометрични тъждества и нищо повече. Накрая имаме минус 1/2 по sin на квадрат от t, по cos от t. Никой не е казал, че това ще бъде лесно, но се надявам да е полезно до някаква степен. Поне ти показва, че си е струвало да се запомнят тригонометричните тъждества. Нека препиша целия израз или нека просто препиша ето тази част. Това е равно на 1/4... Сега имам следното. 1/4 по 2. 1/4 по 2 е равно на 1/2. След това имам sin квадрат от t, нали така? Този sin по този sin, е sin квадрат от t, по cos от t. И след това имаме минус 1/2 sin квадрат от t, по cos от t. И за наше щастие, тези два члена се унищожават. И, разбира се, имаме ето този израз в началото. Имаме това 1/2 по t, по sin от t отпред. Ето този израз се унищожава с този израз и всичко, което ни остава след цялата тази трудна задача - и, което е много удовлетворяващо - е 1/2 по t, по sin от t. Току-що ти показах пример за конволюция. Нека запиша резултата. Имам чувството, че го дялам върху камък, защото това беше толкова много работа. Ако запишем обаче, че f от t e равно на sin от t, и g от t е равно на cos от t, то току-що показахме, че конволюцията на f и g, която е функция от t, е дефинирана като интеграл от 0 до t, от f от (t минус τ) по g от τ, dτ, което е равно на следното. Сменям цветовете тук. Равно е на интеграл от 0 до t, sin от (t минус τ), по g от τ, dτ. Цялата тази бъркотия, т.е. цялата тази конволюция е равна на нещо много удовлетворяващо. Равно е на 1/2 по t, по sin от t. Причината да премина през цялата тази бъркотия, и да раздвижа невроните си, които са запомнили тригонометричните тъждества, или отново да ги докажа и т.н., е, за да ти покажа, че тази конволюция е заплетена и изглежда малко странна, но действително можеш да намираш конволюцията на реални функции, за да получиш реален отговор. Следователно конволюцията на sin от t с cos от t, е 1/2 по t по sin от t. Надявам се, че имаш вече малко усещане или не точно, но поне имаш малко разбиране за това, как конволюцията може да бъде изчислена.