Трансформации на Лаплас (част 1)

Сега ще те запозная с идеята на трансформацията на Лаплас. Това е едно от най-полезните понятия не само при диференциалните уравнения, но и в математиката като цяло, особено в инженерството, където трансформацията на Лаплас помага както за решаване на диференциални уравнения, така и за преобразуване на функции или вълни от времевата в честотната област (т.е. преобразуване на независимата променлива от време в честота), за да се изучат и разберат множество явления. Но все още няма да навилизам във всичко това. Сега просто ще ти покажа какво представлява трансформацията на Лаплас. Ще разбереш какво представлява, ще свикнеш с математиката и след няколко урока ще видиш точно как се използва за решаване на диференциални уравнения. Ще решим някои от същите диференциални уравнения, които сме решавали и преди, но с различни методи. След това ще продължим с още повече и по-трудни примери. И така, какво е трансформация на Лаплас? Трансформацията на Лаплас се записва с буквата L, като първата буква на думата Лаплас на латиница. Записах я по такъв начин ръкописно, но се среща и печатно L. След това има къдрави скоби. Правим трансформация на Лаплас от някаква функция. Прието е функцията вместо да е f от x, да бъде f от t, където с t се означава времето. Причината е в казаното в началото: в инженерството често се използва за преобразуване на функция от времето, t, към функция на честотата на вълната. Ако това те обърква, не го мисли сега. Можеш просто да замениш t с х. И така, имаме трансформация на Лаплас на някаква функция от t. Тя превръща тази функция в някаква друга функция от друг аргумент, s. Как се случва това? Сега ще използвам едно математическо означение: тази стрелка, която сега може да не разбираш. Какво означава това преобразуване? Можеш да си го представиш като един вид специална функция, която борави с други функции. Както една обикновена функция преобразува множество от едни числа в множество от други числа, така трансформацията преобразува множество от едни функции в множество от други функции. Нека дефинирам това. Трансформацията на Лаплас за нашите цели се определя като несобствен интеграл – знам, че още не сме изучили несобствените интеграли, но ще ги обясня след малко. И така, това е несобственият интеграл от 0 до безкрайност от `е` на степен минус st, по f от t, което беше в къдравите скоби на трансформацията на Лаплас, спрямо dt. Това може да ти изглежда много страшно и объркващо, но ще се изясни, като решим няколко примера. И така, какво представлява трансформацията на Лаплас? Да кажем, че f от t е равно на 1. Как правим транформация на Лаплас с аргумент 1? Ако f от t е равно на 1, това е просто константна функция на времето. Сега ще го заместя в горния израз. Това е несобственият интеграл от 0 до безкрайност от функцията `е` на степен минус st, по нашето 1 тук. Не е нужно да го пренаписвам и тук, но има и по dt. Вероятно тази безкрайност те дразни сега, но скоро ще се занимаем с нея. Дори нека го направим още сега. Това е равно на границата на... Да речем, когато А се стреми към безкрайност, на интеграла от 0 до А от `е` на степен минус st, накрая има и dt. Така вече може да ти изглежда малко по-разбираемо, тези двете са едно и също нещо. Защото очевидно не можеш да изчислиш безкрайността, но можеш да намериш границата на нещо, което клони към безкрайност. А сега нека да намерим примитивната функция и да пресметнем този несобствен интеграл. И така, каква е примитивната функция от `е` на степен минус st спрямо dt? Тя е равна на минус 1/s по `е` на степен минус st, нали така? Ако не ми вярваш, намери производната на това. Ще получиш минус s по това. s и 1/s ще се съкратят и ще остане `е` на степен минус st. Дотук е добре. Ще изтрия този знак за равенство. Така ще използвам мястото тук. Сега ще изчислим границата, когато А се стреми към безкрайност. Това не винаги е задължително, но сега ще видим как става, защото за пръв път се сблъскваме с несобствен интеграл. Затова използвам случая да ти напомня, че намираме граница. Преди малко намерихме примитивната функция. Сега трябва да пресметнем стойността ѝ при t равно на А, и после да извадим стойността на примитивната функция, изчислена при t равно на 0. И след това ще потърсим границата на резултата, когато А клони към безкрайност. И така, това е равно на границата за А, клонящо към безкрайност. Добре. Ако заместим с А първо тук, получаваме минус 1/s. Не забравяй, че аргументът ни е t. Интегрирахме спрямо t. Като заместим, става `е` на степен минус sA, нали така? Това ше се получи, като сложа А на мястото на t. Минус... А какво ще стане, като заместя с t = 0? Когато t е равно на 0, изразът става `е` на степен минус s пъти 0. Целият израз ще е равен на 1. И ще остане само минус 1/s. Дотук е добре. А сега ще мина малко по-надолу. Писах малко по-едро и не ми остана място. Ето, вече имам. И така, получихме границата при А, клонящо към безкрайност, на минус 1/s по `е` на степен минус sA, минус –1/s, което е плюс 1/s. Колко е границата, когато A клони към безкрайност? Какво ще даде този член? Ако предположим, че s е по-голямо от 0, сега ще направим това допускане. Даже ще запиша това изрично. Да приемем, че s е по-голямо от 0. В този случай, когато А се приближава към безкрайност, какво ще се случва с този член? Той ще клони към 0, нали така? 'е' на степен минус... Минусът пред едно огромно число го прави много малко число. А пък `е` на степен това минус огромно число е още по-малко число. Членът `e` на минус безкрайност клони към нула. Първият член клони към 0. Вторият член не се променя, защото в него няма А, и така накрая оставаме само с 1/s. И така, получихме това. Това е важен момент в твоя живот. Току-що използва своята първа трансформация на Лаплас. В следващите няколко урока ще ти покажа, че има цели таблици с трансформации на Лаплас, и в крайна сметка ще ги докажем всичките. Но засега само ще разгледаме някои от най-основните. Този пример може да стане нашият първи ред от таблицата ни с трансформации на Лаплас. Трансформацията на Лаплас на f от t при t = 1 е равна на 1/s. Забележи, че преминахме от функция от t, макар и точно тази очевидно да не беше същински зависима от t, към функция от s. Това видео вече стана доста дълго и няма да имам време за още една трансформация на Лаплас. Затова ще я оставя за следващия урок. До скоро виждане.