Комплексни корени на характеристични уравнения 1

В предишните няколко урока разглеждахме случаи с линейно диференциално уравнение с константни коефициенти, което е хомогенно и е от вида А по втората производна на Y плюс В по първата производна на Y плюс С по самата функция Y, тя може да се изрази и като нулевата производна на Y, равно на 0. Това е даденото диференциално уравнение и неговото характеристично уравнение е А по R на квадрат плюс В по R плюс С е равно на 0. Корените на характеристичното уравнение могат да са реални числа, имахме два реални корена в предишните уроци. Това е вариантът, в който имаме два корена R1 и R2, и те са реални числа. В този случай знаем общото решение на това диференциално уравнение, можеш да си го припомниш от предишните уроци и да видиш как го получихме: общото решение е Y равно на някаква константа по числото Е на степен първия корен по Х плюс друга константа по Е на степен втория корен по Х. Това правехме в предишните няколко урока. Дадохме и някои примери. Сега имам въпрос към теб: ами ако характеристичното уравнение няма реални корени? Ако корените му са комплексни числа? Да си припомним какво имам предвид с това. Ако искам да намеря корените на това уравнение и не ми се занимава да го разлагам на множители, мога веднага да го реша като квадратно уравнение, защото то винаги има решения в света на комплексните числа. Тогава корените на характеристичното уравнение са минус В плюс или минус корен квадратен от В на квадрат минус 4 АС... Всичко това върху 2А. И как така ще имам корени, които не са реални числа? Виж този израз тук, В на квадрат минус 4 АС. Ако той е отрицателно число, тогава ще имам корен квадратен от отрицателно число. Този корен ще бъде имагинерно число и стойността на цялата дроб ще е комплексно число. То ще има реална част и имагинерна част. Двата корена ще бъдат комплексни спрегнати един на друг, нали така? Можем да преобразуваме корените, за да видим реалната и имагинерната им част: минус В върху 2А плюс или минус корен квадратен от В на квадрат минус 4АС върху 2А. В случая, когато В на квадрат минус 4АС е по-малко от нула, втората част ще бъде имагинерно число. Да помислим как ще изглежда общият корен на уравнението в този случай, а после ще решим някои задачи. Да се върнем тук горе. Имаме случай, когато корените на характеристичното уравнение не са две реални числа. Можем да запишем тези корени като две комплексно спрегнати комплексни числа. Ще използвам син цвят. В тази ситуация корените са комплексни числа. Мога да представя корените на характеристичното уравнение като някакво число, да го представя с една буква, гръцката буква, която е най-често използвана за тази цел... няма значение каква точно, може да използвам буквата Ламбда. Това е константата Ламбда плюс или минус някакво имагинерно число, умножено по друга константа, Мю. Използвам гръцки букви за константите, защото такива се използват в повечето учебници за диференциални уравнения. И така, имам Мю по имагинерната единица i. Това са два корена, нали така? Защото имаме Ламбда плюс Мю по i и Ламбда минус Мю по i. Те ще са двата корена в случая, когато В на квадрат минус 4АС е по-малко от 0. Да видим какво ще се получи, когато заместим с тези два корена в общото решение на диференциалното уравнение. Както видяхме по-рано, общото решение е следното: Общото решение ще бъде: Y равно на С1 по числото Е на степен първия корен, да използваме този с плюса, Ламбда плюс Мю по i, цялото това по Х в степента, плюс С2 по Е на степен втория корен, той е Ламбда минус Мю по i, по Х. Да опитаме да опростим, защото така изглежда много заплетено! Да видим има ли какво да унищожим или опростим. Нека да разкрием скобите в степените. Ще умножа по Х. Трябва ми доста място. Получаваме Y равно на С1 по Е на степен колко? След разкриване на скобите стана Ламбда по Х плюс Мю по i по Х. Добавяме С2 по Е на степен Ламбда Х минус Мю по X по i. Това е след разкриване на скобите в степените. Какво още можем да направим? Имаме сбор в този степенен показател. Това става Y равно на С1 по Е на степен Ламбда Х по Е на степен Мю по Х по i. Произведението на едно число на различни степени е равно на това число на степен сбора им, дотук е така. Плюс С2 по числото Е на степен Ламбда Х, по Е на степен минус Мю по X по i. Виж какво получихме: имаме Е на степен Ламбда Х и в двете събираеми и можем да го изнесем пред скоби. Ще го разпиша: Y равно на числото Е на степен Ламбда Х по, в скобите е С1 по Е на степен Мю по X по i плюс С2 по Е на степен минус Мю по Х по i. А сега какво можем да направим? Вече става забавно. Ако си спомняш уроците от Въведение в математическия анализ, там говорихме за приблизително намиране на функции чрез прогресии и видяхме един феномен, който за мен е най-удивителният резултат в математическия анализ, дори метафизично... сега ще използваме негово приложение, за да видиш и полза от него. Имаме два члена, които съдържат нещо по Неперовото число Е на степен нещо по i. Отпреди знаем формулата на Ойлер. Да си я припомним. В лилаво записвам формулата на Ойлер. Тя е, че Е на степен i по тита, тук мога да напиша i по Х, е равно на косинус от Х плюс i по синус от Х. Удивителното тук е, че ако заместим Х с числото Пи, получаваме какво? Е на степен i по Пи равно на -1 тук, а второто събираемо отпада, защото синус от Пи е равно на 0. Според мен това е удивително: доказахме, че Е на степен i по Пи е равно на минус 1. Също интересно тук е, че това са всички фундаментални числа в математиката, събрани в едно уравнение. Видяхме това удивително уравнение, а сега да се върнем на практиката. Да видим дали можем чрез това да опростим формулата на Ойлер. Тя се явява определение, което е особено приложимо: когато търсиш приближение на функция чрез степенни редове или редове на Маклорен, то Е на степен Х изглежда като косинус от Х плюс i по приближението на Х чрез степенни редове. Но сега не става въпрос за това. Имаме няколко видеоурока и за това. Но да се върнем на опростяването на нашето Y. Можем да го представим като Y равно на Е на степен Ламбда по Х умножено по... да видим първия член от скобите. С1 по Е на степен Мю по i по Х. Тук нямаме iX, а Мю по iX. Това ще е равно на косинус от каквото е умножено по i, значи косинус от Мю по Х, плюс i по синус от Мю по Х. После имаме С2 по какво? По косинус от минус Мю по Х плюс i по синус от минус Мю по Х. Да видим как да опростим това. Можем да разкрием вътрешните скоби. Това видео вече стана доста дълго, затова ще продължим в следващия урок. До скоро!