Основно съдържание

Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 8

Урок 1: Основи на окръжността

Подготовка за изучаване на окръжностите

Всичко, което изучихме за пропорционалните зависимости и връзките с ъглите в други фигури, е приложимо и за окръжности и за части от окръжности.

Да си припомним някои понятия, които ще са ни полезни в раздела "Окръжности и кръгове" в курса "Гимназиална геометрия". Тук ще дадем обобщение на всички понятия, заедно с примери, връзки към упражнения и информация защо съответното понятие е нужно в предстоящите уроци.

Тази статия включва само понятия, които са изучавани в предишните курсове. Има и понятия, които се изучават в настоящия курс и са важни за осмисляне на окръжностите и кръговете. Ако все още не си овладял/а Определения за подобие, ти препоръчваме да го преговориш, преди да продължиш напред с раздела.

Обиколка на част от окръжност и лице на част от кръг

Какво е това и за какво ще го използваме?

Колко е лицето на половин кръг (или полукръг)? То е равно на половината от лицето на целия кръг. А колко е дължината на

\frac{1}{3}

част от окръжността? Тя е равна на

\frac{1}{3}

от дължината на цялата окръжност. В раздела гимназиална геометрия ще обобщим тези често срещани части от окръжност и кръг, за да можем да намираме дължината на части от окръжност и лицето на части от кръг, когато са ни известни дължината на радиуса и мярката на произволен централен ъгъл.

Упражнение

Задача 1.1

Намери дължината на дъгата на частта от окръжност.
Въведи или точен отговор, изразен чрез $π$ ‍, или използвай $3, 14$ ‍ за $π$ ‍ и въведи десетична дроб.

единици

За повече упражнения виж Обиколка на част от окръжност и Лице на част от кръг.

Къде ще използваме това?

Ето няколко упражнения, за които преговорът на това как се пресмятат дължината на част от окръжност и лицето на част от кръг ще е полезен:

Решаване на отношения

Какво е това и за какво ще го използваме?

Две величини са пропорционални помежду си, ако отношението между техните стойности винаги е едно и също. Отношението между лицето на сектор от кръга и лицето на целия кръг е равно на отношението между мярката на централния ъгъл на сектора и мярката на централния ъгъл на целия кръг. Същото важи и за отношението между дължината на дъгата на сектора и дължината на обиколката на кръга.

Упражнение

Задача 2.1

Намери $n$ ‍.

\frac{11}{n} = \frac{8}{5}

n =

За повече упражнения виж Изчисляване на пропорции .

Къде ще използваме това?

Ето няколко упражнения, за които преговорът на пропорционалните отношения ще е полезен:

Опростяване на сложни дроби

Какво е това и за какво ще го използваме?

Сложна дроб е обикновена дроб, в която числителят, знаменателят или и двете също са обикновени дроби. Всяка пропорционална зависимост може да включва смесени дроби, но ги срещаме особено често, когато изразяваме мерките на ъглите с радиани.

Упражнение

Задача 3.1

Кой израз е еквивалентен на следната сложна дроб?

\frac{(\frac{7}{4})}{(\frac{9}{8})}

За допълнителни упражнения виж Опростяване на сложни дроби.

Къде ще използваме това?

Ето няколко упражнения, за които преговорът на смесените дроби ще е полезен:

Отношения между ъгли

Какво е това и за какво ще го използваме?

Всички зависимости между мерките на ъглите, когато те имат общ връх или са част от един триъгълник, са в сила и когато ъглите са във фигура като кръг. Дали тези ъгли общо дават прав ъгъл? Тогава техните мерки трябва да се допълват до

180 °

. Дали заедно образуват един пълен оборот? Тогава сборът от техните мерки е

360 °

. Можем да намерим общата мярка на ъглите на вписани в окръжност или описани около окръжност фигури, като ги разделим на отделни триъгълници.

Упражнение

Задача 4,1

Колко е $x$ ‍ в следната фигура?

ЗАБЕЛЕЖКА: Ъглите не са задължително в мащаб.

x =

°

За допълнителни упражнения виж Определяне на мерките на ъглите, образувани от пресичащи се прави и Ъгли в многоъгълник.

Къде ще използваме това?

Ето няколко упражнения, за които преговорът на връзките между ъглите ще е полезен:

Решаване на уравнения с неизвестни от двете страни

Какво е това и за какво ще го използваме?

Еднаквите елементи на фигурите имат еднакви мерки. Когато и двете мерки включват неизвестно, често все пак можем да намерим неизвестната стойност, като преработим равенството.

Упражнение

Задача 5

Намери $b$ ‍.

7 b - 15 = 5 b + 17

b =

За допълнителни упражнения виж Уравнения с неизвестни от двете страни.

Къде ще използваме това?

Ето едно упражнение, за което преговорът на решаването на уравнения с неизвестни от двете страни може да е от полза.

Определяне на мярката на ъглите от уравнения

Намиране на мерките на ъглите в равнобедрени триъгълници

Какво е това и за какво ще го използваме?

Ъглите, лежащи срещу бедрата в равнобедрен триъгълник, са равни. Понеже всички радиуси в една окръжност са равни, триъгълниците, чиито страни са радиуси, трябва да са равнобедрени. Ще използваме това, за да докажем една важна зависимост между централните ъгли и вписаните ъгли на една и съща дъга.