Извеждане на метод за определяне на обратни матрици

Дадена е матрицата А, която искам да преобразувам в ешелонна форма. Правили сме го много пъти. Просто извършваш различни операции по редове. Но сега искам да ти покажа, че тези операции по редове са еквивалентни на линейни трансформации на вектор-стълбовете на А. Ще ти го покажа с един пример. Ако просто искам да преобразувам матрицата А в ешелонна форма, първата стъпка, която бих искал да направя, е да нулирам тези елементи ето тук – ще го направя директно тук – като ще запазим първия елемент същия. За всички тези вектор-стълбове ще запазим първите елементи непроменени. Ще останат 1, –1, –1. Всъщност паралелно ще конструирам нашата трансформация. Значи първата операция, която ще извърша, е еквивалентна на линейна трансформация на вектор-стълба. Това ще бъде трансформация, която взима един вектор-стълб, [а1; а2; а3]. Тя взема всеки от тези вектори и ги преобразува по линеен начин. Това са линейни трансформации. Така че запазваме първия елемент на вектор-стълбовете непроменени. Това ще бъде просто а1. Тук има черта. Това ще бъде а1. А какво можем да направим, ако искаме да преобразуваме в ешелонна форма? Ще искаме този елемент да стане 0. Искаме да заместим втория ред с втория ред плюс първия ред, защото тези елементи ще станат 0. Ще запиша това в нашата трансформация. Ще заместя втория ред с втория ред плюс първия ред. Ще го запиша ето тук. Минус 1 плюс 1 е 0. 2 плюс –1 е 1. 3 плюс –1 е 2. Искаме да получим 0 и тук. Затова ще заместя третия ред с третия ред минус първия ред. Ще заместя третия ред с третия ред минус първия ред. Значи 1 минус 1 е 0. 1 минус –1 е 2. 4 минус –1 е 5, ето така. Това е просто една линейна трансформация. Всяка линейна трансформация може да се представи като произведение на матрица с вектор. Например тази трансформация може да се представи по следния начин. За да намерим матрицата на трансформацията, ако кажем, че Т(х) е равно на... не знам, да кажем, че това е някаква матрица S по х. Вече използвахме А като означение на матрица, затова избирам друга буква. Как може да намерим S? Просто прилагаме трансформация към всички вектор-стълбове, или стандартни базисни вектори на единичната матрица. Да го направим. Значи единичната матрица – ще я направя много малка, ето така – единичната матрица ще изглежда ето така: [1;0;0;0;1;0;0;0;1]. Ето така изглежда единичната матрица. За да намерим матрицата на трансформацията, просто прилагаме това към всеки вектор-стълб тук. Какво ще получим? Ще го направя малко по-голямо. Прилагаме я към всеки от тези вектор-стълбове. Но виждаме, че първият ред винаги остава непроменен. Значи първият ред винаги ще остане същия. Значи 1, 0, 0. На практика прилагам това едновременно към всички тези вектор-стълбове, като казвам, че след трансформацията на всеки от тези вектор-стълбове първите им елементи не се променят. Вторите елементи стават вторите елементи плюс първите елементи. Значи 0 плюс 1 е 1. 1 плюс 0 е 1. 0 плюс 0 е 0. После третите елементи заместваме с третите елементи минус първите елементи. Значи 0 минус 1 е –1. 0 минус 0 е 0. 1 минус 0 е 1. Сега обърни внимание, че когато приложа тази трансформация към вектор-стълбовете на единичната матрица, аз на практика извършвам същите операции по редове, които извърших ето тук. Извърших съвсем същите операции по редове с тази единична матрица. Но ние знаем, че това всъщност е матрица на трансформацията, и че ако умножим всеки от тези вектор-стълбове или по всеки от тези вектор-стълбове, ще получим тези вектор-стълбове. Така че можем да го разглеждаме по следния начин. Това ето тук е равно на S. Това е нашата матрица на трансформацията. Можем да кажем, че ако създадем една нова матрица, чиито стълбове са S по този вектор-стълб, S по [1; –1;1], а следващият стълб ще е S по – искам да го направя с различен цвят – S по този стълб [–1; 2;1]. После третият стълб ще бъде S по третия вектор-стълб, по [–1; 3;4]. Знаем, че прилагаме тази трансформация, това е S, по всеки от тези вектор-стълбове. Това е матричното представяне на тази трансформация. Това ето тук ще се трансформира в това тук. Ще го направя ето тук долу. Искам да се вижда и ето това, което е тук горе. Просто ще направя една стрелка. Това е може би най-лесното нещо. Тази матрица ето тук ще стане тази матрица тук. Друг начин, по който можем да го запишем – това на какво е еквивалентно? На какво е еквивалентно това? Когато вземем една матрица и я умножим по всеки вектор-стълб, когато трансформираме всеки вектор-стълб на тази матрица, това по определение е произведение на матрица с матрица. Това е равно на нашата матрица S – ще използвам розово – това е равно на матрицата S която е [1;0;0;1;1;0;–1;0;1] по матрицата А = [1;–1;1;–1;2;1;–1;3;4]. Искам да поясня това. Това е матрицата S на трансформацията. Това е матрицата А. След като извършим това умножение, получаваме ето това тук. Просто ще копирам и поставя. Едит, копи, поставям. Ще получим ето това тук. Причината да правя всичко това е просто да си припомним, че когато извършваме тези операции по редове, ние просто умножаваме. Извършваме линейна трансформация на всеки от тези стълбове. Това е напълно еквивалентно на това просто да умножим това по някаква матрица S. В този случай си направихме труда да установим каква е матрицата S. Но всяка от тези операции по редове, които извършихме, винаги може да бъде представена като умножение с матрица. Това води до нещо много интересно. Когато преобразуваме нещо в ешелонна форма – ще го направя ето тук. Всъщност, първо да довършим това, което започнахме тук. Да преобразуваме тази матрица в ешелонна форма. Ще нарека това S1. Значи това тук е равно на S1 по А. Вече показахме, че това е вярно. Сега да извършим друга трансформация. Да вземем друга съвкупност от операции по редове, която да ни доведе до ешелонна форма на матрицата. Да запазим средния ред същия, 0, 1, 2. Да заместим първия ред с първия ред плюс втория ред, защото искам това да стане 0. Значи 1 плюс 0 е 1. Ще използвам различен цвят. –1 плюс 1 е 0. –1 плюс 2 е 1. Сега искам да заместя третия ред с – да кажем с третия ред минус 2 по първия ред. Това е 0, минус 2 по 0, това е 0. 2, минус 2 по 1, е 0. 5, минус 2 по 2, е 1. 5 минус 4 е 1. Почти сме готови. Трябва само да нулираме ето това тук. Да видим можем ли да преобразуваме тази матрица в ешелонна форма. Какво се случи? Просто извърших друга линейна трансформаця. Всъщност ще запиша това. Да кажем, че това е първата ни линейна трансформация, след нея извършихме друга линейна трансформация, Т2. Ще я запиша по различен начин, при който имам някакъв вектор-стълб, х1, х2, х3. Какво направих току-що? Каква беше трансформацията, която току-що извърших? Новият ми вектор, направих горния ред да е равен на горния ред плюс втория ред. Значи това е х1 + х2. Запазих втория ред същия. Третия ред заместих с третия ред минус 2 по втория ред. Това е линейната трансформация, която приложих току-що. Можем да представим тази линейна трансформация като – можем да кажем, че Т2, приложена към някакъв вектор х, е равна на някакъв вектор на трансформацията S2, по нашия вектор х. Сега можем да кажем, че това е равно на... Понеже приложихме тази трансформационна матрица към всеки от тези стълбове, което е еквивалентно на това да умножим това по тази матрица на трансформацията. Значи можем да кажем, че това ето тук – още не сме разбрали какво е това, но мисля, че разбираш идеята – тази матрица тук ще бъде равна на ето това – ще е равна на S2 по това. А какво е това тук? Това е равно на S1 по А. Това е S2 по S1 по А. Добре. Значи това е просто S2 по S1 по А. Можеше да дойдем направо тук, ако просто бяхме умножили S2 по S1. Това ще е някаква друга матрица. Ако просто умножим това по А, ще се озовем директно тук. Добре. Но все още не сме преобразували тази матрица в ешелонна форма. Да се опитаме да го направим. Свършва ми мястото отдолу, затова трябва да отида отгоре. Отивам отгоре. Сега искаме да запазим третия ред непроменен, 0, 0, 1. Ще заместя втория ред с втория ред минус 2 по третия ред. Получавам 0; 1, минус 2 по 0, и получаваме 2, минус 2 по 1. Значи това е 0. Да заместим първия ред с първия ред минус третия. Значи 1 минус 0 е 1. 0 минус 0 е 0. 1 минус 1 е 0, ето така. Сега ще запиша какво представлява трансформацията. Да я означим като Т3. Ще използвам цикламено. Т3 е трансформацията на някакъв вектор х – ще го запиша така – на някакъв вектор [х1; х2; х3], което е равно на... Какво направихме? Заместихме първия ред с първия ред минус третия ред, х1 минус х3. Заместихме втория ред с втория ред минус 2 по третия ред. Значи х2 минус 2 по х3. После третият ред остана непроменен. Очевидно, това също може да се представи. Т3(х) е равно на някаква друга матрица на трансформацията, S3 по х. Значи тази трансформация, когато умножим това по всеки от тези вектор-стълбове, е еквивалентна на умножаването на този вектор по трансформационната матрица, която още не сме намерили. Мога да запиша това. Значи това е равно на S3 по тази матрица ето тук, която е S2 по S1 по А. Какво имаме тук? Получихме единичната матрица. Преобразувахме я в ешелонна форма. Получихме единичната матрица. Вече знаем от предишните уроци, че ако ешелонната форма на една матрица е единичната матрица, тогава това е обратима трансформация или обратима матрица. Защото очевидно това може да е трансформация на някаква друга трансформация. Да наречем тази трансформация – не знам, използвах ли вече Т? Да я наречем просто Т нулево – това е трансформацията, приложена към някакъв вектор х, което може да е равно на А по х. Следователно знаем, че тази матрица е обратима. Приведохме я в ешелонна форма по редове. Преобразувахме тази матрица в ешелонна форма и получихме единичната матрица. Това означава, че тази матрица е обратима. Но се случи нещо още по-интересно. Стигнахме дотук с операции по редове. Казахме, че тези операции по редове са напълно еквивалентни на умножаването на тази матрица, умножаването на оригиналната трансформационна матрица по серия от трансформационни матрици, които представят операциите по редове. И когато умножихме всичко това, това беше равно на единичната матрица. В последното видео казахме, че обратната матрица – ако това е То (Т нулево), то То^(–1) може да се представи като... то също е линейна трансформация – може да се представи като някаква обратна матрица, която нарекохме А^(–1) по х. Видяхме, че обратната трансформационна матрица по трансформационната матрица е равно на единичната матрица. Видяхме това в предишното видео. Аз ти го доказах. Сега тук има нещо много интересно. Имаме серия от произведения на матрици по този вектор, по този вектор, и отново получихме единичната матрица. Значи това ето тук, тази серия от произведения на матрици, трябва да е същото нещо като нашата обратна матрица, като обратната матрица на трансформацията. Ако искаме, можем да пресметнем това. Точно както направихме преди, всъщност намерихме S1. Направихме го тук долу. Можем да направим същото, за да намерим S2 и S3, и после да ги умножим. Така ще конструираме А^(–1). Но можем да направим и нещо по-интересно вместо това – ако приложим тези същите произведения на матрици към единичната матрица. Ние го правихме през цялото време тук, когато извършвахме операцията с първия ред. Значи тук имаме матрицата А. Да кажем, че отдясно имаме единичната матрица. Да я означим като I. (У нас е прието единичната матрица да се отбелязва с Е) Първата линейна трансформация, която извършихме – видяхме това тук – това беше еквивалентно на умножаването на S1 по А. Първата поредица от операции по редове беше това. Това ни доведе тук. Сега, ако извършим същите операции по редове спрямо единичната матрица, какво ще получим? Ще получим матрицата S1. S1 по единичната матрица е просто S1. Всички стълбове на една матрица по единичната по стандартните базови вектор-стълбове, са равни просто на себе си. Така че получаваме S1. Това е S1 по I. Това е просто S1. Добре. След като извършихме операциите на втория ред, получихме S2 по S1, по А. Ако извършим същите операции по редове ето тук, какво ще получим? Ще получим S2 по S1, по единичната матрица. Последната операция по редове можем да представим като умножение по матрицата S3. Умножаваме по трансформационната матрица S3. Ако направим това, получаваме S3 по S2, по S1, по А. Но ако извършим съвсем същите операции по редове ето тук, тогава получаваме S3 по S2, по S1, по единичната матрица. Когато направим това, когато извършим тези операции по редове тук, това ни дава единичната матрица. А тези какво ще дадат? Когато извършим съвсем същите операции по редове, които извършихме спрямо А, получаваме единичната матрица, ако извършим същите операции по редове на единичната матрица, какво получаваме? Получаваме ето това тук. Всяко нещо, умножено по единичната матрица, е равно на самото себе си. Така че какво е това тук? Това е А^(–1). Значи намерихме общ метод за намиране на обратната матрица на една трансформационна матрица. Сега можем – да кажем, че имаме някаква трансформационна матрица А. Мога да направя разширена матрица, в която да сложа единичната матрица ето тук, ето по този начин, и после извършвам операции по редовете. Можем да ги представим като произведения на матрици. Извършваме операциите по редове на всички тях. Извършваме същите операции върху А, както бихме направили с единичната матрица. Когато преобразуваме А като единична матрица, ние сме преобразували А в ешелонна форма. Когато А изглежда ето така, нашата единична матрица, и сме извършили съвсем същите операции с нея, това ще бъде трансформирано в обратната матрица на А. Това е много полезен инструмент за намиране на обратни матрици. Аз обясних теоретично защо това работи. В следващото видео ще решим това. Може би ще го направим за примера от началото на това видео.