Оптимизация с ограничение (въведение)

Привет! В следващите няколко видеа ще разгледаме една по-различна задача за оптимизация, така неречената оптимизация с ограничение. Един пример за това е случай, в който може да се иска да се максимизира някаква функция на много променливи – да кажем, че това е функцията f от (х; у) равно на х на квадрат по у. Но освен това, което се иска в задачата, са дадени и определени ограничения, когато х и у могат да приемат само определени допустими стойности. Ще запиша само множеството от всички стойности на х е на у, такива че, х на квадрат плюс у на квадрат равно на 1. Вероятно можеш да определиш, че това е формулата на единичната окръжност, това е едно често срещано ограничение, което използваме тук – това е формулата на единичната окръжност. Един начин да разсъждаваме за подобна задача е – за да максимизираме определена функция на две променливи, първо разглеждаме графиката на функцията. Аз съм показал графиката на функцията тук, това е графиката на функцията f от (х; у) равно на х на квадрат, по у. Ограничението х на квадрат плюс у на квадрат е едно подмножество в равнината ху. Ако погледнем това ето тук, ако разгледаме равнината ху, тази окръжност представлява всички точки (х;у), за които това равенство е изпълнено. Това, което всъщност съм начертал ето тук, не е окръжността в равнината ху, а нейната проекция върху графиката. Това ни показва по същество всички стойности, за които това условие е изпълнено, както и как изглежда тяхната графика. Начинът, по който можем да разсъждаваме за подобна задача, е да разгледаме тази окръжност, тази проекция на окръжността върху графиката на функцията, и да потърсим най-високите точки. Вероятно ти прави впечатление, че тук има един вид връх на тази деформирана окръжност, тук има още един, а след това най-ниските точки ще бъдат – досещаш се – около тази точка и ето тук. Това е добре, смятам, че това е добър начин да видим какво се търси в тази задача, но реално има и по-добър начин за визуализация като намерим реалното решение и той е като разгледаме само равнината ху, а не да се опитваме да представим нещата графично. Вместо това можем да се ограничим само до входното пространство. Тук имаме контурни линии, съответстващи на f от (х; у) равно на х на квадрат плюс у на квадрат. Ако не са ти познати контурните линии или контурните карти, имаме специално видео за това, като можеш да се върнеш и да го гледаш, защото е много важно за следващите няколко видеа да имаш представа за тях. По същество, всяка от тези линии представлява определена константна стойност на f. Например една от тях, може да представлява всички стойности на х и на у, за които f от (х; у) е равно на – знаеш, на 2, така че, ако разгледаме всички стойности на х и на у, за които това е вярно, ще се озовем върху една от тези линии, като всяка линия представлява различна възможна стойност за това каква е тази константа. Това, което ще направя тук, е по същество да разгледам под лупа една конкретна контурна линия. Това тук е нещо, което ще променям, където ще мога да променям на каква константа е равна функцията f, и ще видим как се променя контурната линия в резултат. Например, ако я поставя някъде тук, как ще изглежда контурната линия за f от (х; у) равно на 0,1. Всички стойности на тези две сини линии тук ни казват какви стойности на х и на у дават това 0,1. Но, от друга страна, аз мога да преместя тази стойност, може би да я увелича, и тогава ще я направя така, че това уравнение да е равно на 1. Това е един вид алтернатива, тук един вид ще ги отделя. Това ще е линията, за която f от (х; у) е равно на 1. Основното нещо, което искам да подчертая тук, е, че за някаква стойност като 0,1 тази контурна линия пресича окръжността, пресича нашето ограничително условие. Да помислим какво означава това – ако тези точки (х; у) на това пресичане ето тук, това ни дава по същество двойка числа х и у, такива, че това е вярно, изпълнено е, че f от (х; у) е равно на 0,1 и че също така х на квадрат плюс у на квадрат е равно на 1. Това означава, че това е нещо, което реално съществува и е възможно. Действително ние можем да видим, че има четири различни двойки числа, за които това е вярно, където те се пресичат ето тук, пресичат се ето тук и после другите две пресечни точки са един вид симетрично от тази страна. Но, от друга страна, ако разгледаме другата ситуация, когато се преместим до линията f от (х; у) равно на 1, те никога не се пресичат с това ограничение. Това означава, че (х; у) наредената двойка числа, които удовлетворяват това условие, са извън това ограничение, те са извън тази окръжност х на квадрат плюс у на квадрат равно на 1. Това означава, че когато се опитаме да максимизираме тази функция, която е предмет на това огриначение, функцията не може да достигне до стойността 1. 0,1 е постижима стойност, и по същество, ако се върнем един вид назад, ако разгледаме 0,1, ако увеличим малко тази стойност, например да я променим на тази линия ето тук, вместо това да вземем 0,2, това също е възможно, защото линията пресича окръжността. Действително, можем да си поиграем с тези стойности, да увеличим още малко, и ако стигнем до 0,3, ако дойдем тук при 0,3, това също е възможно. Това, което по същество се опитваме да направим, е да максимизираме стойността, която можем да поставим тук, максималната стойност, така че като погледнем линията, която представлява f от (х; у) равно на тази стойност, тя все още да пресича окръжността. Ключовото наблюдение тук е, че максималната стойност се достига тогава, когато тези линии са тенгенциални. В следващото видео ще разгледаме по-подробно как можем да използваме този факт, идеята за тази тангенциалност, за да решим задачата, да намерим действителните стойности на х и на у, за които това е максимално, когато имаме това ограничение. Но междувременно, искам само да видим как можем да използваме това. Какво означава тангенциален? Как можем да се възползваме от определени други понятия, които сме учили досега в анализа на функции на много променливи, например като градиент, за да решим една такава задача. Ще се видим в следващото видео!