Теорема на Гаус-Остроградски (теорема за дивергенцията) – за две измерения

Преговор

• Теорема на Грийн
• Поток в две измерения
• Нормала към крива
• Дивергенция

• Формална дефиниция на дивергенция

Основни идеи

• 2D теоремата на Гаус-Остроградски се отнася към дивергенцията така, както теоремата на Грийн се отнася към ротацията. Тя представлява връзка между дивергенцията на векторно поле в дадена област и потока на това поле през границата на областта.
• Дефиниции:

  • $\mathbf{\text{F}}(x;y)$‍ е двумерно векторно поле.
    • $R$‍ е дадена област в равнината $xy$‍.
    • $C$‍ е границата на $R$‍.
    • $\widehat{\mathbf{\text{n}}}$‍ е функцията, даваща външните единични нормални вектори към $C$‍.
• 2D теоремата на Гаус-Остроградски ни казва, че потокът на полето $\mathbf{\text{F}}$‍ през границата $C$‍ е равен на двойния интеграл на $\text{div}\mathbf{\text{F}}$‍ в областта $R$‍.
  ${\displaystyle \underset{\text{Интеграл на потока}}{\underbrace{{\int }_C\mathbf{\text{F}}\cdot \widehat{\mathbf{\text{n}}}ds}}={\iint }_R\text{div}\mathbf{\text{F}}dA}$‍
• Интуицията тук е, че ако $\mathbf{\text{F}}$‍ представлява потока на флуид, то потокът, напускащ областта $R$‍ през границата ѝ, е равен на сумата от скоростите на частиците (измерена чрез дивергенцията на векторното поле) в целия обем на областта.
• Често двете компоненти/координати на $\mathbf{\text{F}}(x;y)$‍ се означават с $P(x;y)$‍ и $Q(x;y)$‍:
  $\mathbf{\text{F}}(x;y)=\left[\begin{array}{c}P(x;y)\\ Q(x;y)\end{array}\right]$‍
  След като изразим и двата интеграла чрез $P$‍ и $Q$‍, теоремата за дивергенцията в две измерения изглежда по следния начин:
  ${\displaystyle {\oint }_{C}Pdy-Qdx={\iint }_R{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}}}$‍
• В този ѝ вид виждаме, че 2D теоремата на Гаус-Остроградски е еквивалентна на теоремата на Грийн.

Интуиция: връзка между два израза за потока

Глобален поглед: Поток

Локален поглед: Дивергенция

Искаш да знаеш повече?

Доказателство: Интеграл на потока + единична нормала + теорема на Грийн

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  ${\displaystyle \frac{1}{ds}}\left[\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right]$‍

  А

  ${\displaystyle \frac{1}{ds}}\left[\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right]$‍
• (Избор Б)  

  ${\displaystyle \frac{1}{ds}}\left[\begin{array}{c}dy\\ -dx\end{array}\right]$‍

  Б

  ${\displaystyle \frac{1}{ds}}\left[\begin{array}{c}dy\\ -dx\end{array}\right]$‍
• (Избор В)  

  ${\displaystyle \frac{1}{ds}}\left[\begin{array}{c}-dy\\ dx\end{array}\right]$‍

  В

  ${\displaystyle \frac{1}{ds}}\left[\begin{array}{c}-dy\\ dx\end{array}\right]$‍

Провери

Отговор

Вторият отговор е верен:

${\displaystyle \frac{1}{ds}}\left[\begin{array}{c}dy\\ -dx\end{array}\right]$‍

Вторият и третият отговор представляват единични нормални вектори към кривата, но само вторият отговор е външен единичен нормален вектор. Ако искаш да си припомниш значенията на някои от тези понятия, върни се към статията построяване на единичен нормален вектор към крива.

При построяването на единичен нормален вектор започваме с допирателния вектор $\left[\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right]$‍ към кривата и го завъртаме на ${90}^{\circ }$‍. В нашия случай допирателният вектор сочи в посока обратна на часовниковата стрелка, и искаме да получим външен нормален вектор, така че трябва да завъртим вектора по посока на часовниковата стрелка.

За да завъртим вектор на ${90}^{\circ }$‍, разменяме компонентите му и обръщаме знака на единия от тях. Ако не можеш да запомниш кой от двата знака да обърнеш, винаги можеш да разгледаш кратък пример. Ако направим следната трансформация:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}-y\\ x\end{array}\right]$‍

Ето как изглежда графиката:

Получаваме ротация в посока обратна на часовниковата стрелка. За да получим външен нормален вектор ни е необходима обратната посока, затова сменяме знака на получената втора координата:

$\left[\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}dy\\ -dx\end{array}\right]$‍

Тъй като търсим единичен вектор, накрая трябва да разделим получения вектор на дължината му:

${\displaystyle \frac{1}{ds}}\left[\begin{array}{c}dy\\ -dx\end{array}\right]$‍

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  ${\displaystyle {\oint }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}})dA}$‍

  А

  ${\displaystyle {\oint }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}})dA}$‍
• (Избор Б)  

  ${\displaystyle {\oint }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}}-{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}})dA}$‍

  Б

  ${\displaystyle {\oint }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}}-{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}})dA}$‍

Провери

Отговор

Първият отговор е верен:

${\displaystyle {\oint }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}})dA}$‍

Изразът ${\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}}$‍ е равен на двумерната ротация на $\mathbf{\text{F}}$‍.

За кратък преговор на тези идеи и понятия, виж статията Теорема на Грийн.

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  ${\displaystyle {\oint }_{C}Pdy-Qdx={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}})dA}$‍

  А

  ${\displaystyle {\oint }_{C}Pdy-Qdx={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}})dA}$‍
• (Избор Б)  

  ${\displaystyle {\oint }_{C}Pdy-Qdx={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}})dA}$‍

  Б

  ${\displaystyle {\oint }_{C}Pdy-Qdx={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}})dA}$‍

Провери

Отговор

Първият отговор е верен:

${\displaystyle {\oint }_{C}Pdy-Qdx={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}})dA}$‍

Обърни внимание, че в този израз и в твърдението на теоремата на Грийн използваме буквите $P$‍ и $Q$‍, но в двата случая ролите им са разменени. Ето как изглеждат едно до друго:

$\begin{array}{rl}& \underset{\text{Теорема на Грийн}}{\underbrace{{\oint }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}})dA}}\\ \\ & \underset{\text{Заместваме }P\text{ с }-Q\text{ и }Q\text{ с }P}{\underbrace{{\oint }_C-Qdx+Pdy={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial (-Q)}{\partial y}})dA}}\\ \\ & \underset{\text{Преобразуван вид и отговор на въпроса}}{\underbrace{{\oint }_{C}Pdy-Qdx={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}})dA}}\end{array}$‍

Къде се използва 2D теоремата на Гаус-Остроградски?

• Задълбочено разбиране: Тази форма на теоремата ни дава възможност да интерпретираме интегралите в теоремата на Грийн като изразяващи поток и дивергенция.
• Стратегическа полза: Понякога задачите, в които използваме теоремата на Грийн, са интуитивно свързани с дефиницията на дивергенция. Например, ако даден криволинеен интеграл идва от задача по физика, в която се разглежда поток, то няма нужда да го разделяме на компоненти ${\displaystyle \int Pdx+Qdy}$‍, за да приложим теоремата на Грийн - вместо това можем директно да го заместим с интеграла на дивергенцията на векторно поле.

Обобщение

• 2D теоремата на Гаус-Остроградски свързва двумерния поток и двойния интеграл на дивергенцията на векторно поле в дадена област.
  ${\displaystyle \underset{\text{Пълният изходящ поток }R}{\underbrace{{\int }_C\mathbf{\text{F}}\cdot \widehat{\mathbf{\text{n}}}ds}}=\underset{\text{Суми от всички потоци от малките парченца}}{\underbrace{{\iint }_R\text{div}\mathbf{\text{F}}dA}}}$‍
• Често векторното поле $\mathbf{\text{F}}(x;y)$‍ е записано чрез двете си компоненти:
  $\mathbf{\text{F}}(x;y)=\left[\begin{array}{c}P(x;y)\\ Q(x;y)\end{array}\right]$‍
  В този случай теоремата на Гаус-Остроградски изглежда така:
  ${\displaystyle {\oint }_{C}Pdy-Qdx={\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}})dA}$‍
• Тази форма на теоремата е еквивалентна на теоремата на Грийн.