Въведение в криволинейните интеграли

Ако разглеждаме две измерения и искаме да намерим площта под някаква крива, вече разполагаме с подходящи инструменти да го направим, като само ще припомня за тези начини. Да кажем, че това е оста х, това е оста у и ще начертая някаква произволна функция, която е функцията f от х. Да кажем, че искаме да намерим площта между х равно на а, това тук е х = а, до х равно на b. Разглеждахме това преди много, много видео уроци. Начинът, по който разсъждаваме, е да вземем съвсем малки широчини х, или съвсем малки промени на х. Можем да ги означим като делта х, но понеже са толкова малки, ще ги нарека dx. Това са изключително миниатюрни промени на х. След това ги умножаваме по стойността на f от х в дадената точка. Умножаваме ги по височината в дадената точка, която е стойността на f от х. Значи умножаваме f от х по тази миниатюрна основи dx, което ще ни даде площта на този миниатюрен, тесен правоъгълник ето тук. И понеже всеки от тези правоъгълници е безкрайно малък, ще имаме безкрайно голям брой такива правоъгълници за да запълним пространството. Ще имаме безкрайно много такива правоъгълници, нали? Инструментът, който използваме, е определеният интеграл. Определеният интеграл е сумата, безкрайната сума на тези безкрайно малки площи, или на тези безкрайно малки правоъгълници. Начинът на записване, който използваме, е от а до b – има много видео уроци за това как се изчисляват определени интеграли. Само искам да ти припомня какво означава този запис. Това ни казва, че ако вземем една малка промяна на х, ако я умножим по височината в съответната точка, тогава ще имаме безкрайно голям брой от тези правоъгълници, защото тези хиксове са много безкрайно малки, така че ще получим безкрайно много правоъгълници. Намираме безкрайната сума на всички правоъгълници, от х = а до х = b. Това е просто стандартен определен интеграл. В това видео искам да надградя това, да разширя това малко, за да можем да решаваме по-широка група от задачи. Да кажем, че сега имаме три измерения. Първо ще начертая равнината ху. Може би ще запазя това, просто за да бъде по-ясна аналогията. Ще направя това "сплескано", така че да имаме някаква перспектива. Да кажем, че това ето тук е оста у, която един вид отива зад екрана. Представи си, че просто съм бутнал това и то е паднало долу. Значи това е оста у, а това е оста х. Да кажем, че имаме някакъв път в равнината ху. За да дефинираме един път в равнината ху, трябва да параметризираме и двете променливи х и у. Нека х да е равно на... ще сменя цветовете. Използвам твърде много това оранжево. Да кажем, че х е равно на някаква функция от някакъв параметър t, и да кажем, че у е равно на някаква друга функция на същия параметър t, и да кажем, че... t е по-голямо или равно на а, и е по-малко или равно на b. Това дефинира някакъв път в равнината ху – ако това ти се струва неясно, може би трябва да гледаш отново видео уроците за параметрични уравнения. Но, по същество, когато t е равно на а, тогава ще имаме х равно на... значи t е равно на а, тогава х ще е равно на g от а, а у ще е равно на h от а. Ще имаме тази точка ето тук, така че, не знам... ще нанеса една произволна точка. Когато t е равно на а, тогава ще начертаем координатната точка g от а. Това е нашата х-координата. Това тук е g от а. После у-координата ще бъде h от а. Нали? Просто заместваме равно на а във всяка от тези формули. После получаваме стойностите на х и на у. Значи тази координата тук ще бъде h от а. После с малки стъпки правим t по-голямо и по-голямо, докато достигнем до b, но получаваме серия от точки, която ще изглежда примерно така. Това е крива или път, в равнината ху. Вероятно сега се чудиш какво общо има това с всичко останало в момента. За какво ни е това сега? Само ще запиша тук 'c', което означава, че това е нашата крива, нашият път. Нека да имаме друга функция, която свързва всяка точка в равнината ху с някаква стойност. Да кажем, че имаме функцията f от (х; у). Тя свързва всяка точка в равнината ху с някаква стойност. Ще начертая f от (х; у). Тук ще направя една вертикална ос. Мога да използвам различен цвят. Това е оста f от (х; у), или можем да я наречем оста z. Това е някаква вертикална ос. За всяка точка, ако ми дадеш х и у, и аз ги въведа в моята функция f от (х; у), тя ще ми даде някаква точка. Значи мога да начертая някаква повърхнина, която представлява f от (х; у). Всичко това ще стане много по-конкретно, когато разгледаме конкретни примери. Да кажем, че f от (х; у) изглежда приблизително така. Ще се постарая максимално да я начертая добре. Ще използвам различен цвят. Да кажем, че това е f от (х; у). Някаква повърхнина. Ще начертая част от нея. Това е някаква повърхнина, която изглежда примерно ето така. Това е f от (х; у). Спомни си, че всичко това се получава, когато ми дадеш някакви стойности х и у, които аз въвеждам във функцията f от (х; у), която ми дава някаква трета стойност, която ще нанесем спрямо тази вертикална ос ето тук. Имам предвид каква да е функцията f от (х; у)? Може например да е, като не е задължително да е това, но може да е х плюс у. Може f от (х; у) да е тази функция. Това е просто пример. Може да е х по у. Ако х е 1, у е 2, тогава f от (х;у) е 1 по 2. Но да кажем, че когато нанасяме всяка точка в равнината ху, когато чертаем f от (х; у), ще получим някаква повърхнина ето тук, но искаме да направим нещо интересно. Искаме да намерим, но не площта под тази крива, (сочи кривата в равнината ху) това е много лесно, когато го направихме преди. Сега искам да намеря площта, ако си представиш някаква завеса, или ограда, която е по протежение на тази крива. Представи си, че това е един прав линеен път, който върви точно по оста х от а до b. Но сега имаме този крив, извит път, който се вие в равнината ху. Представи си, че ако начертая една стена, или завеса, или ограда, която се издига право нагоре от моята графика на функцията f от (х; у) – ще се постарая максимално с чертаенето. Ще го начертая. Значи се издига до тук, и може би тази точка съответства на това тук. Когато чертаем тази завеса нагоре, тя ще се пресича с това ето така. Да кажем, че изглежда приблизително ето така. Значи тази точка ето тук съответства на тази точка ето тук. Ако си представиш, че имаме завеса, f от (х; у) e таванът, а това, което начертах тук, тази крива, тя един вид показва основата на стената. Това е някаква щура стена. Да кажем, че тази точка съответства на... всъщност ще начертая това малко по-различно. Тази точка съответства на някаква точка ето тук, така че, когато проследим къде се пресича, тя ще изглежда може би ето по този начин, не знам. Нещо подобно. Старая се максимално да онагледя това. Може би ще защриховам това, за да изглежда по-плътно, да кажем, че f от (х; у) е малко прозрачно. Можеш да виждаш през него. И имаме тази крива стена. Целта на това видео е да видим как можем да определим площта на тази крива стена, която по същество е стената или оградата, която се образува, когато вървиш по тази крива и скачаш нагоре и стигаш до тавана на това f от (х; у). Да помислим малко как можем да намерим това. Ако просто използваме аналогия с това, което направихме по-рано, можем да кажем... нека да наречем това... да направим малка промяна в дължината на кривата. Да я означим като ds. Това е малка промяна в дължината на нашата крива ето тук. Ако умножим тази промяна на дължината на кривата по f от (х;у) в тази точка, то ще получим площта на това малко правоъгълниче тук. Нали? Ако вземем ds, промяната на – представи си дължината на арката на тази крива в тази точка – ще го напиша – ds е равно на много малка промяна в дължината на дъгата на нашата крива или от нашия път. Това е нашето ds. Представи си, че площта на това малко правоъгълниче ето тук, покрай нашата крива стена, е ds, като ще направя това главно S, dS по височината в тази точка, която е f от (х; у). После, ако сумирам тези площи, защото това са безкрайно тесни правоъгълничета, тези dS са безкрайно малки широчини, ако намерим тази безкрайна сума на тези площи от t = а до t = b, ако съберем площите на всички тези правоъгълници до t = b, ето тук, тогава ще получим нашата площ. Просто използвам съвсем същата логика, както ето тук Това не е много прецизно от математическа гледна точка, но искам да видиш логиката какво правим тук. Просто огъваме основата на това нещо, за да получим крива стена, вместо права, идеална права стена, както беше ето тук. Но сега ти можеш да кажеш: "Сал, това е много абстрактно, как можем да изчислим нещо като това, това за мен е безсмислено – тук имаме s, имаме х и у, имаме t, какво да правим с всички тях?" Да видим дали можем да намерим решение. Обещавам ти, че когато разгледаме това с конкретен пример – резултатът, който ще получим в края на това видео, ще бъде нещо доста сложно на вид – но когато го използваме с конкретен пример, тогава смятам, че щом имаме конкретика, ще видиш, че не е нещо чак толкова трудно. Сега да видим дали можем да изразим всичко това чрез t. Първо да се фокусираме на ds. Отново ще избера осите х и у. Ако трябва да обърна осите х и у – ще сменя цветовете, защото започна да става малко еднообразно. Ако преобърна осите х и у по този начин... всъщност, ще използвам същия зелен цвят, така че да знаем, че работим със същите оси х и у. Значи това е оста у, а това е оста х. Тази крива ето тук, ако просто я начертая направо тук, тя ще изглежда приблизително така. Нали? Това е нашият път, нашата дъга. Това тук е когато t е равно на а, значи тук е t = а, а това е t = b. Същото нещо, просто ги избрах отново, за да можеш да ги виждаш. Казваме, че имаме някаква промяна на дължината на дъгата... ще сменя цветовете. Да кажем, че това е ето това тук. Да кажем, че имаме някаква малка промяна на дължината на дъгата, която означаваме като dS. Има ли начин да свържем това dS с безкрайно малките промени на х и на у? Ако помислим върху това, ако... като всичко това е малко повърхностно, това не е строго математическо доказателство. Но мисля, че ще ти даде правилното разбиране – представи си, че можеш да определиш дължината dS, ако знаеш дължината на тези супер малки промени на х и супер малки промени на у. Ако това разстояние ето тук е dх, супер малка промяна на х, това разстояние тук е dу, безкрайно малка промяна на у, тогава можем да определим dS чрез питагоровата теорема. Можем да кажем, че dS ще бъде – това е хипотенузата на този триъгълник, която е равна на корен квадратен от dx на квадрат плюс dу на квадрат. Това изглежда, че малко опрости нещата, защото изведнъж изчезна това ds. Сега ще препиша този израз, като ще използвам какво е това dS, което всъщност е просто корен квадратен от dх на квадрат плюс dу на квадрат. Това не е много прецизно, защото е много трудно да бъдем прецизни с диференциалите, но логически погледнато в това има смисъл. Можем да кажем, че този интеграл, че площта на тази извита завеса, е равно на интеграла с граници от t равно на а, до t равно на b, интеграл от f от (х; у), като вместо по dS можем да запишем това – по квадратен корен от dx на квадрат плюс dy на квадрат. Сега да се отървем от това главно S, но ние още не сме решили задачата – не сме определили как да решим определен интеграл като този. Тук имаме t, но тук сме го изразили само чрез х и у. Така че трябва да изразим всичко чрез t. Знаем, че х и у са функции на t, така че можем всъщност да преобразуваме по следния начин. Можем да преработим това като интеграл от t = а до t = b. f от (х; у) можем да представим като – f е функция от х, което е функция от t, и също така f e функция от у, което също е функция от t. Ако ми дадеш стойност на t, аз мога да ти дам стойност на х и на у, а след като имаме стойностите на х и на у, можем да намерим колко е f. Значи имаме това и после имаме това ето тук. Ще го направя в оранжево. Корен квадратен от dx на квадрат плюс dу на квадрат. Но все още не сме изразили нещата чрез t. Нужно ни е тук да имаме dt, за да можем да сметнем този интеграл. Ще видим това в следващото видео, когато ще решим един конкретен пример. Но просто исках да ти дам представа за крайния резултат, формулата, която ще получим като краен резултат в това видео, и откъде идва тя. Едно нещо, което бихме могли да направим, ако можехме да преобразуваме алгебрично диференциали, тогава щяхме да можем да умножаваме и да делим на dt. Един начин да разсъждаваме е, да преработим това – ще направя тази оранжевата част ето тук. Ще го направя отстрани. Ако вземем тази оранжевата част, и ако я препишем в розово, имаме dx на квадрат, а после плюс dу на квадрат, и да кажем, че умножим това по dt върху dt. Това е една малка промяна на t, разделена на малка промяна на t. Това цялото е единица, така че можем да умножим по него. Ако внесем тази част вътре в знака за корен квадратен... ще го преобразувам по следния начин – това е равно на 1 върху dt, по корен квадратен от dx на квадрат плюс dy на квадрат, а после по това dt. Нали? Исках да го напиша по този начин, за да ти покажа, че просто умножавам по 1. Сега взимам това dt, записвам го тук, и оставям това ето тук. Сега, ако искам да внеса това под знака за квадратен корен, това същото нещо е равно – ще го направям много бавно – само за да съм сигурен, че ще можеш да ми повярваш, че не правя нищо съмнително с алгебричните преобразувания. Това е равно на корен квадратен от 1 върху dt на квадрат – само ще направя радикала по-голям като размер – по dx на квадрат плюс dy на квадрат, и всичко това е умножено по dt, нали? Не съм направил нищо нередно, можеш да коренуваш това и ще получиш 1 върху dt. Ако разкрия скобите и умножа, това е равно на корен квадратен – имаме нашето dt в края – корен от dx на квадрат... даже можем да запишем (dx/dt) на квадрат плюс (dy/dt) на квадрат. Нали? dx на квадрат върху dt на квадрат е просто (dx/dt) на квадрат. Същото правим и с у. Сега изведнъж това започва да изглежда много интересно. Да заместим този израз с ето този. Казахме, че те са еквивалентни. Ще сменя цветовете, просто ето така. Значи имаме интеграл от t равно на а... Ще върна чертежа, ако... от t равно на а до t равно на b, интеграл от f от х от t, по... или f от х от t и от у от t – и х, и у са функции от t, и сега, вместо този израз можем да запишем корен квадратен от... какво е dx, колко е промяната на х по отношение на този параметър t? Колко е dx,dt? dx,dt е равно на g' (прим) от t. Защото х е функция от t. Функцията, която записах, е g' от t. След това dy,dt е h' от t. Знаем, че у е функция от t. Само исках да поясня това. Знаем тези две функции, така че можем да намерим техните производни относно t. Но ще ги оставя в този вид. Корен квадратен – намираме производната на х относно t, на квадрат, плюс производната на у относно t, на квадрат, всичко това по dt. Това може би ти се струва една много странна и завъртяна формула, но всъщност това е нещо, с което знаем как да работим. Ние опростихме това странно, виждаш – тази задача с дължини на дъгата, или този криволинеен интеграл, нали? Ние точно това правим. Намираме интеграл по отношение на една крива, или относно права, вместо само в някакъв интервал по отношение на оста х. Намираме интеграл по една странна крива, относно дължината на дъгата на кривата, и х и у, и изразяваме всичко чрез t. Ще ти покажа това в следващото видео. Всичко ще изразим чрез t, така че това става един прост определен интеграл. Надявам се, че не съм те объркал твърде много. Смятам, че в следващото видео ще видиш, че това, това тук всъщност е нещо много лесно за прилагане. Само да припомня откъде дойде всичко това – мисля, че съм поставил скобите правилно. Това тук е просто промяната на дължината на дъгата. Цялото това нещо тук е просто промяната на дължината на дъгата. Това е височината на функцията в дадената точка. Просто ги сумираме, намираме безкрайната сума на безкрайно малки дължини. Така че това е промяната на дължината на дъгата по височината. Това правоъгълниче има безкрайно малка широчина, и затова ще имаме безкрайно много такива правоъгълници, за да получим площта на цялата ограда или на цялата завеса. Това получаваме като решим този определен интеграл, което ще използваме в следващото видео.