Градиент

Днес ще разгледаме понятието градиент. В това видео само ще опиша как се изчислява градиентът, а в следващите няколко урока ще дам геометричното му тълкуване. Не обичам да правя това – да показвам първо изчисленията, преди да съм дал геометричната логика, понеже обикновено се прави в обратен ред, но градиентът е едно от тези странни неща, при които начинът на изчисляване всъщност изглежда, че няма връзка с логиката и ще видиш защо това е така. Ще направим тази връзка в следващите няколко видео урока. Но за да можем да го направим, трябва да знаем какво представляват тези две неща. При изчисляването на градиента – да кажем, че е дадена някаква функция. Избирам това да бъде функция с две променливи. Нека това е функцията f от (х,у) равно на х на квадрат по синус от у. Градиентът е начин да "опаковаме заедно" цялата информация за функцията от всички нейни частни производни. Първо да намерим частните производни на тази функция. Частната производна на f по отношение на х е равна на – сега приемаме, че х е променлива, а у е константа. В този случай синус от у също е константа. По отношение на х, производната на х на квадрат е равна на 2 по х. Така че получаваме 2 по х, по константата синус от у. Сега да намерим частната производна по отношение на у. Сега приемаме, че х е константа, значи х на квадрат също е константа. Производната на функция, която е някаква константа по синус от у, ще бъде равна на същата константа по косинус от у. Косинус е производната на синус. Това, което прави градиентът – просто се комбинират тези две частни производни като един вектор. По-точно... може би е добре да сменя цветовете – означаваме градиента като малък обърнат триъгълник. Този символ се нарича набла, но често се произнася като дел, казваме "дел на f" или градиент на f. Това е равно на един вектор, който съдържа тези две частни производни. Първият му компонент е частната производна по отношение на х, това е 2 по х, по синус от у. Долният компонент е частната производна по отношение на у, х на квадрат по косинус от у. Обърни внимание, искам да наблегна на това, че това е една векторна функция. Може би трябва да оставя тук малко повече място, и да подчертая, че това е функция от х и у. Това е функция, чийто аргумент е някаква точка в двумерното пространство, а стойността на функцията е двумерен вектор. Вероятно се досещаш, че това може да се отнася и за три различни променливи. Тогава ще имаме три частни производни и тримерна стойност на функцията. Общият начин за записване на това е следният: градиентът на произволна функция е равен на вектор, дефиниран от частните производни на функцията. Частната производна на f по отношение на х, и частната производна на f по отношение на у. В известен смисъл, тъй като това са частните производни на функцията, си представям, че градиентът е пълната ѝ производна, тъй като градиентът един вид обединява цялата информация, която ни е нужна. Един много удобен начин за лесно запомняне на градиента е да разглеждаме това триъгълниче, този символ нимба, като вектор, който съдържа операторите за частни производни. Под оператор имам предвид, че частната производна по отношение на х е нещо, в което въвеждаме някаква функция, и то ни дава друга функция. Даваме на този оператор функцията f и той ни дава този израз, дава ни тази функция на много променливи като резултат. Значи набла символът е този вектор, който съдържа различни оператори за частни производни. В този случай това са само две частни производни, което е малко странно, защото тук имаме един вектор, който е определен от оператори – това е различно от познатите ни вектори. Но вероятно се досещаш накъде отива това. Представи си го просто като трик за лесно запомняне, макар нещата да са малко по-сложни. И, наистина, когато вземеш този триъгълник, когато умножиш този триъгълник по функцията f, той наистина действа като оператор, който взима тази функция и ти дава друга функция. Все едно взимаш този триъгълник и поставяш пред него някаква функция f – и си представи, че все едно тази част се "умножава" по f, тази част я "умножаваме" по f, но по същество това означава, че намираме частната производна на f по отношение на х, а после по отношение на у, и така нататък. Причината да правим това е, че този символ се среща често в други ситуации. Има още два оператора, които ще учиш, които се наричат разходимост и ротация. Ще ги разгледаме по-нататък, когато стигнем до тях. Но е полезно да познаваме този "приличащ на вектор" оператор за частните производни. Сега може да кажеш: "Ясно, този оператор набла е вектор, който съдържа оператори за частни производни. Но каква е неговата дължина? Колко измерения има той?" Ако имаме тримерна функция, тогава трябва да разглеждаме оператора набла като съдържащ три различни оператора. Затварям тук скобата. Ако имаш функция със 100 променливи, тогава набла ще съдържа 100 различни оператора, което е възможно. Но пак повтарям, приеми това като един вид трик за запаметяване. Ето това е начинът за изчисляване на градиента. В известна степен той представлява основно частни производни, които определят един вектор, но нещата стават наистина интересни, когато разглеждаме геометричната интерпретация. Ще го направим в следващите няколко урока. Това е и много важен инструмент за т.нар. производни по направление. Така че ни предстоят много интересни неща.