Знания, нужни за разглеждане на матрица на Якоби

Привет! В следващите няколко видео клипа ще разгледаме така неречения якобиан или детерминанта на Якоби, или по-конкретно това е матрицата на Якоби, или понякога съответната детерминанта. Сега искам да разгледаме някои от нещата, които трябва да знаем, за да разберем какво представлява якобиана, като са ти нужни някои знания от линейната алгебра, а по-точно, искам да съм сигурен, че познаваш матриците и пространствените трансформации. Когато казвам трансформации, тук имам предвид някаква матрица. Нека тази матрица да съдържа две, едно, минус три и едно. След малко ще разбереш защо ги оцветявам по този начин. Като казвам, че ще разглеждаме това като трансформация на пространството, имам предвид, че можем да умножим една матрица по някакъв двумерен вектор, някакъв двумерен вектор [х; у], и ще получим нов двумерен вектор. Това ще ни даде – да видим – в този случай ще получим ще запиша [2; 1; -3;1], и получаваме 2 по х плюс (– 3) по у, после 1 по х плюс 1 по у. Нали така? Това е един нов двумерен вектор, който се намира някъде другаде в пространството, и дори когато знаеш как да го изчислиш, все още нещата могат да се разгледат и в по-голяма дълбочина по отношение на това какво означава да трансформираме вектор [х; у] във вектор 2 по х плюс минус 3 по у и 1 по х плюс 1 по у. Тук има по-дълбок смисъл в това, какво имаме предвид, когато наричаме това линейна трансформация. Аз просто ще ти покажа как изглежда тази конкретна трансформация – ето тук отляво – като всяка отделна точка в тази синя мрежа – ще кажа на компютъра, че ако това е точка (х;у), искам да я пренесе в точка (2х –3у; х + у). Ще изглежда ето така. Ще пусна анимацията ето тук. Всички точки в пространството се движат, и получаваме някакво крайно състояние ето тук. Тук трябва да обърнем внимание на няколко важни неща. Първо, всички прави линии, изграждащи тази мрежа, остават успоредни и равноотдалечени, като те пак са прави. Те не изкривяват по някакъв начин. Това е нещо много, много специално. Това е геометричното представяне на начина, по който разглеждаме този член, идеята за линейна трансформация. Аз предпочитам да си представям, че правите остават прави, по-конкретно тези линии на мрежата, като тези, които имаме в началото, са един вид хоризонтални и вертикални, те пак остават успоредни помежду си, и пак остават равноотдалечени помежду си. Другото нещо, на което искам да обърнем внимание тук – оцветил съм тези два вектора – зеления вектор и червения вектор. Това са векторите, от които започваме, ако един вид върнем нещата назад, това са векторите, които първоначално бяха базисни вектори, нали? Ще направя малко повече място ето тук. Този зелен вектор е [1; 0], 1 в посока х и 0 в посока у. Червеният вертикален вектор е [0; 1]. Ако обърнем внимание къде ще се озоват те след тази трансформация, когато умножим матрицата по всеки отделен вектор в пространството, мястото, където отива зеленият вектор, който първоначално беше [1;0], сега той е с координати [2; 1], което съответства пряко на факта, че първият стълб на матрицата съдържа 2 и 1. По същия начин вторият вектор ето тук, който беше [0; 1], сега е с координати [-3; 1], което съответства на това, че следващият стълб съдържа минус 3 и 1. Тук е доста лесно да се разбере защо се получава това. Ще умножа тази матрица, която имаме... В случая е лесно да запомним коя е матрицата, нали? Мога да я запиша ето тук, тя е 2, 1, минус 3, 1. Но за да видим как умножаваме базисните вектори по стълбовете на матрицата, когато умножаваме по [1; 0], обърни внимание, че получаваме – това е 2 по 1, което е 2, после минус 3 по 0 дава нула. След това тук имаме 1 по 1, което е 1, и после 1 по нула, така че добавяме нула. Единствените членове, които имат значение, заради тази нула тук, са тези, които са в първия стълб. По същия начин, ако умножим същата матрица, [2; 1; -3; 1], ако я умножим по вектора [0; 1], това е вторият базисен вектор, ще получим 2 по нула, което е нула, плюс елемента във втория стълб, и после 1 по нула, значи още една нула, плюс 1 по 1, това дава плюс 1. Отново изглежда така, че нулата елиминира всички елементи на другите стълбове. Тогава, както казах, геометрично, значението на една линейна трансформация е, че линиите на мрежата остават успоредни и на еднакво разстояние помежду си. Когато започнем да разсъждаваме върху това, ако можем да разберем къде ще се озове зеленият вектор и къде ще отиде червеният вектор, това ще определи еднозначно мястото, където ще се премести цялата мрежа. Ще ти покажа какво имам предвид и как то съответства, например, на една по-различна дефиниция, която си чувал(а) за смисъла на линейната трансформация. Ако имаме някаква функция L, която на входа има някакъв вектор и на изхода дава някакъв друг вектор, казваме, че тази функция е линейна, ако тя удовлетворява условието, че когато умножим някаква константа по входния вектор, изходният вектор е равен същата тази константа по това, което се случва, ако приложим тази трансформация към входния вектор, без да е мащабиран, така че тук прилагаме тази трансформация към един мащабиран вектор, и, очевидно, това е същото като да мащабираме трансформацията на вектора. По същия начин второто свойство на линейността е това, че когато съберем два вектора, няма значение дали ги събираме преди трансформацията или след нея. Ако вземем сбора на два вектора и приложим трансформацията, това е същото като първо да приложим трансформацията на всеки вектор поотделно, а после да съберем получените вектори. Едно от най-важните последвствия на тази формална дефиниция за линейността е, че това означава, че ако вземем нашата функция и я приложим на някакъв вектор [х; у], можем да разделим този вектор на х по първия базисен вектор, х по вектор [1; 0], плюс у... да видим – у по втория базисен вектор, вектор [0; 1]. В следствие на тези две свойства на линейната трансформация, ако можем да представим вектора по този начин, тогава няма значение дали мащабираме и събираме преди трансформацията, или мащабираме и събираме след трансформацията. Да кажем, че х по версията след трансформацията на вектор [1; 0] е... аз ще ти покажа геометрично какво означава това само след минутка, но първо искам да запиша всичко алгебрично – плюс у по трансформираната версия на вектор [0; 1], За да бъда по-конкретен, всъщност ще взема конкретни стойности за х и за у, и ще разгледаме този конкретен вектор геометрично. Може би да вземем вектор [2;1]. Ако разгледаме мрежата, ще се фокусираме върху точката, която е ето тук, точката (2;1), тази конкретна точка. Сега ще пусна анимацията, която показва трансформацията, и искам да проследиш тази точка и да видиш къде ще отиде. Тя се озовава ето тук. Добре, от гледна точка на мрежата, първоначалната точка, с която започнахме, сега е в точка (1;3). Тя се озова ето тук, но най-важното е да обърнеш внимание, че този вектор отново е два пъти зеления вектор и един път червения вектор. Това удовлетворява условието, че векторът е х пъти по трансформираната версия на първия ни вектор, плюс у по трансформираната версия на втория базисен вектор. Това беше малък преговор, като изводът е, основното, което искам да запомниш от всичко това, е, че когато имаш някаква матрица, можеш да я разглеждаш като трансформация на пространството, която запазва линиите на мрежата успоредни и равномерно отдалечени. Това е една много специална трансформация. Това е силно ограничаващо условие за функция, която изобразява двумерни точки в други двумерни точки. Един удобен начин да означим това е, че мястото, на което попада първият базисен вектор, този, който в началото беше на една единица надясно, се представя чрез първия стълб на матрицата, а мястото, където отива вторият базисен вектор, който първоначално беше една единица нагоре, се представя чрез втория стълб на матрицата. Ако всичко това ти е напълно непознато, или искаш да научиш повече за това, по тази тема има други уроци, които вече съм правил. Но за да разбереш матрицата на Якоби, в която използваме това, за да получиш геометрична представа за нея, този кратък преговор, който направихме, би трябвало да ти е достатъчен. До скоро!