Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1

Урок 6: Графики на функции на много променливи (статии)

Какво представляват функциите на много променливи?

Запознаване с функциите на много променливи и първи стъпки в анализа им

Основни идеи

Функция на много променливи наричаме функция, чиято стойност пресмятаме с помощта на няколко числа.
$f (\underset{\begin{matrix} няколко аргумента \\ на функцията \end{matrix}}{\underset{⏟}{x; y}}) = x^{2} y$ ‍
Ако стойността (изходът) на дадена функция се описва с множество числа, тя също е функция на много променливи, но се нарича векторна функция.
$f (x) = [\begin{matrix} \cos (x) \\ \sin (x) \end{matrix}] \leftarrow многомерна стойност на функцията$ ‍
Графиките на тези два вида функции трябва да начертаем в многомерно пространство (обикновено използваме 2 или 3 измерения, тъй като за повече нямаме пространствена интуиция).

Какво представляват функциите на много променливи?

Когато за първи път се срещнах с понятието "функция", намерих за полезно да ги разглеждам като приемащи входни стойности и генериращи изходни стойности. Ето няколко примера за функции:

f (x) = x^{2}

или:

f (x) = \sin (x) + 2 \sqrt{x}

Ако си припомниш първия си урок на тема функции, то най-вероятно си научил/а да си представяш функцията като сложна машина, която приема числа на входа и изплюва други числа на изхода.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Но всъщност функциите могат да работят не само с числа. Също така, те могат да приемат всяко нещо като вход и да извеждат всяко нещо като изход. В анализа на функции на много променливи тези неща могат да бъдат списъци от числа. Тоест, входът и изходът на функцията могат да са съставени от повече от едно число.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

**Примери за различни видове функции**
	Един аргумент	Няколко аргумента
Една стойност	$f (x) = x^{2}$ ‍	$f (x; y) = x^{2} + y^{3}$ ‍
Няколко стойности	$f (t) = (\cos (t); \sin (t))$ ‍	$f (u; v) = (u^{2} - v; v^{2} + u)$ ‍

Функция на много променливи наричаме функция, чиито аргументи и/или стойности са няколко числа. "Обикновените" функции на една променлива, които имат по едно число на входа и на изхода, наричаме функции на една променлива.

Забележка: Някои автори и учители наричат функции на много променливи тези функции, които имат повече от една входна стойност, а не тези, които имат повече от една изходна стойност.

Вектори от числа $\leftrightarrow$ ‍ точки в пространството

Това, което прави анализа на функции на много променливи толкова интригуващ, са многомерните им графики.

Например, ако аргументите на дадена функция са наредени двойки числа, като

(2; 5)

, можем да ги разглеждаме като две отделни числа: две и пет.

По-често обаче разглеждаме двойката

(2; 5)

като точка в двумерно пространство, чиято

x

-координата е

2

и чиято

y

-координата е

5

Аналогично, можем да си представим тройката

(3; 1; 2)

не като три числа, а като точка в тримерното пространство.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

В този контекст функциите на много променливи са правила за асоцииране на точки в едно пространство с точки в друго пространство. Например функцията

f (x; y) = x^{2} y

, която има двумерен аргумент и едномерна изходна стойност, превръща точки в равнината

x y

в точки върху числовата ос. Функция като

f (x; y; z) = (y z; x z; x y)

превръща точки в тримерното пространство в други точки отново в три измерения.

В следващите няколко статии ще представя няколко различни метода за построяване на графики на тези функции. Резултатите от това често са много красиви и също така полезни при осмислянето на различни формули. Обаче подобни графики могат да са ужасно объркващи, особено ако в даден случай броят на измеренията надхвърля три.

В такъв случай винаги можем да се успокоим с мисълта, че в крайна сметка всичко това са просто числа. Може да са двойка числа, превръщащи се в тройка, или сто числа, превръщащи се в сто хиляди, но всичко, което искаме да свършим ние сами или с помощта на компютър, става като разглеждаме тези аргументи и стойности едно по едно.

Векторни функции

Понякога можем да представим наредената двойка

(2; 5)

не като точка в двумерното пространство, а като вектор, стрелка, сочеща

2

стъпки надясно и

5

стъпки нагоре.

За да подчертаем разликата, ще използваме различен вид означение за вектори, като запишем числата вертикално,

[\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}]

, или като заместим

x

-координатата с

\hat{i}

y

-координатата с

\hat{j}

2 \hat{i} + 5 \hat{j}

Това са, разбира се, просто различни записи на едно и също нещо. Списъкът от числа си е списък от числа, без значение дали го представяме като точка, или като стрелка. Според контекста на различните задачи обаче, понякога векторите са по-интуитивни. Например скорост и сила обикновено записваме като вектори, тъй като векторите онагледяват съответното движение или посоката на приложената сила.

Когато става въпрос за функции на много променливи, най-разпространено е да приемаме стойностите на функцията като вектори, а аргументите като точка в пространството. Това не е стриктно правило, но повечето хора го намират за най-удобно.

Терминология

Функциите, чиито стойности са вектори, се наричат векторни функции, а функциите с едномерни стойности се наричат скаларни, или реални (реални като в реално число).

Примери за функции на много променливи

Ако желаем да разберем света около нас с помощта на математически модели, анализът на скаларни функции на една променлива е твърде ограничаващ. Сега ще разгледаме няколко примера за многомерни функции.

Пример 1: От географски координати към температура

За да опишем различните температури в голям регион от земното кълбо, можем да използваме функция на две променливи—географска ширина и дължина, даже можем да използваме и височината като трета променлива — и тази функция дава едномерна стойност – температурата за дадените координати. Ето как изглежда тази функция:

T = f (L_{1}; L_{2})

$T$ ‍ е температурата.
$L_{1}$ ‍ е географската дължина.
$L_{2}$ ‍ е географската ширина
$f$ ‍ е вероятно сложна функция, описваща температурите, отговарящи на всяка двойка стойности за географската ширина и дължина.

Можем да кажем, че температурата

T

е функция на географската дължина

L_{1}

и географската ширина

L_{2}

, и да я запишем като

T (L_{1}, L_{2})

Пример 2: От време към местоположение

За да опишем движението на частица в пространството, можем да използваме функция на една променлива—времето—чиято стойност е векторът с координати, описващи местоположението на точката.

Можем да запишем тази функция по няколко начина:

\vec{s} = f (t)

$\vec{s}$ ‍ е двумерен или тримерен "вектор на изместване", определящ местоположението на частицата.
$t$ ‍ е времето.
$f$ ‍ е векторна функция.

Освен това, можем да представим двете координати на векторната функция като отделни скаларни функции

x (t)

y (t)

\begin{aligned} x (t) & = \dots (функция на t) \dots \\ y (t) & = \dots (друга функция на t) \dots \end{aligned}

Пример 3: От потребителски данни към прогноза

Когато администраторите на даден уебсайт се интересуват от навиците на потребителите си, те могат да създадат функция на хиляди различни променливи като възраст, местоположение, предишни посещения на сайта, а на изхода на тази функция също може да има най-различни променливи, например вероятността потребителите да посетят дадена страница на уебсайта или да поръчат даден продукт от онлайн магазин.

Пример 4: От местоположение към скорост

При моделирането на флуиди понякога скоростта на всяка частица се представя като функция с аргумент координатите на частицата, а стойността на функцията е векторът на скоростта.

Отново, можем да представим тази функция по няколко начина:

\vec{v} = f (x; y)

$\vec{v}$ ‍ е двумерен вектор на скоростта.
$x$ ‍ и $y$ ‍ са координатите на местоположението на частицата.
$f$ ‍ е векторна функция на много променливи.

Както в един от предишните примери, можем да разделим функцията

f

на компоненти и да ги означим с

\hat{i}

\hat{j}

\vec{v} = g (x; y) \hat{i} + h (x; y) \hat{j}

$\vec{v}$ ‍ е двумерен вектор на скоростта.
$\hat{i}$ ‍ е единичният вектор на абсцисата.
$\hat{j}$ ‍ е единичният вектор на ординатата.
$g$ ‍ е скаларна функция, представяща $x$ ‍-координатата на скоростта като функция на местоположението.
$h$ ‍ е скаларна функция, представяща $y$ ‍-координатата на скоростта като функция на местоположението.

Къде е математическият анализ?

Математическият анализ изучава две основни понятия:

Производна, описваща промяната на дадена функция спрямо аргументите ѝ.
Интеграл, изразяващ безкрайна сума от безкрайно малките стойности, които "изграждат" стойностите на дадена функция.

Анализът на функции на много променливи обобщава тези идеи за многомерни аргументи и/или стойности на функциите.

В този контекст промяната в дадена функция може да бъде:

Промяната в температурата при движение в дадена посока.
Промяната в поведението на потребител на онлайн магазин при обновяване на уебсайта.
Промените в движението на дадена течност в пространството.

От друга страна, "безкрайна сума от безкрайно малки стойности" би могло да означава:

Намиране на средната температура за даден период.
Обикновено, за да намерим средна стойност, трябва да съберем няколко различни стойности и да разделим на техния брой. В примера "От географски координати към температура" броят на тези стойности е безкраен, тъй като те са описани от непрекъсната функция. Тогава, за да намерим средната стойност, трябва някак да усредним всички стойности на тази функция.
Работата, извършена от дадена сила върху движеща се частица.
Описване на общата скорост на дадена област от движеща се течност.

Това, което прави всички тези задачи различни от анализа на функции само на една променлива, е наличието на промяна в стойностите на функцията в различни посоки и спрямо различни аргументи. Ще разгледаме по-подробно какво означава това в следващите уроци.

Упражнение: В Пример 2, където позицията на дадена частица е описана като функция на времето, какво би описвала скоростта на изменение на тази функция?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1

Основни идеи

Какво представляват функциите на много променливи?

Вектори от числа ↔‍ точки в пространството

Векторни функции

Терминология

Примери за функции на много променливи

Пример 1: От географски координати към температура

Пример 2: От време към местоположение

Пример 3: От потребителски данни към прогноза

Пример 4: От местоположение към скорост

Къде е математическият анализ?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вектори от числа $\leftrightarrow$ ‍ точки в пространството