Т-статистика доверителен интервал

Това е същата задача, която имахме миналия път. Но вместо да се опитваме да намерим доказателство дали данните са достатъчни, за да направим извод, че двигателите съответстват на действителните изискване за вредни емисии, и всички тестове на хипотези, реших, че ще използвам същите данни, които имахме миналия път, за да достигнем в крайна сметка доверителен интервал 95%. Така че тук може да игнорираме този въпрос. Можем да игнорираме всичко това. Ще използвам същите данни, за да може да имаме доверителен интервал 95% за действителната средна стойност на емисиите на този нов модел двигател. Така че искаме да намерим 95%-ен доверителен интервал. И както можем да си представим, понеже имаме само 10 примера тук, ще искаме да използваме Т- разпределение. А тук долу имам Т-таблица. И търся 95%-ен доверителен интервал. Целта ни е да помислим за интервала на Т- стойностите, така че 95... или за интервала, в който ще попаднат 95% от Т- стойностите. Така че нека помислим по този начин. Нека начертая едно Т-разпределение тук. Т-разпределението на външен вид е много подобно на нормално разпределение, но има по-големи опашки. Този край и този край ще са по-обширни, отколкото в едно нормално разпределение. И искаме да намерим такъв интервал, така че, ако това е едно нормализирано Т-разпределение, средната стойност ще е 0. И искаме да намерим интервал от Т-стойностите между дадена отрицателна стойност тук и дадена положителна стойност тук, който съдържа 95% от вероятността. Така че това тук трябва да е 95%. И за да намерим какви са тези критични Т-стойности в този край и в този край, можем да използваме Т-таблица. Тук ще използваме двустранната версия на таблицата, защото има симетричност спрямо центъра. И като гледаме двустранната таблица, целим доверителен интервал от 95%, поради което ще гледаме тук, 95% доверителен интервал. Имаме 10 точки данни, което означава, че разполагаме с 9 степени на свобода. Значи имаме 9 степени на свобода за нашите 10 точки данни. Взехме само 10 минус 1. И ако погледнем тук, за такова Т-разпределение с 9 степени на свобода, ще имаме 95% от вероятността да се съдържа в рамките на една Т-стойност от... така че Т-стойността ще е между отрицателното, т.е. тази стойност тук е 2,262, а тази стойност тук е минус 2,262. Точно това ни се казва тук. Че ако се съдържат всички стойности, които са с по-малко от 2,262 отдалечени от центъра на нашето Т-разпределение, това ще включва 95% от вероятността. Та това тук е нашето Т-разпределение. Нека го изясня малко. Това е нашето Т-разпределение. Ако произволно изберем една Т-стойност от това Т-разпределение, тя има 95% вероятност да е на такова разстояние от средната стойност. Или може би трябва да го запиша така. Ако избера една произволна Т-стойност, ако взема произволна Т-статистика – нека го напиша така - има 95 % възможност една произволна Т-статистика да е по-малка от 2,262 и по-голяма от минус 2,262. 95% вероятност. Така, като взехме тази извадка, можем също и да извлечем една Т-статистика от тук. Имаме извадковата средна стойност и извадковото стандартно отклонение, тук извадковата средна стойност е 17,17 – пресметнахме го миналия път, сега само прибавяме това, разделяме на 10, и нашето извадково стандартно отклонение тук е 2,98. Така че Т-статистиката, която можем да получим от тази информация тук – нека го запиша тук – Т-статистиката, която можем да извлечем от това, можеш да гледаш на тази Т-статистика като една произволна извадка от дадено Т-разпределение. Едно Т-разпределение с 9 степени на свобода. Т-статистиката, която можем да получим от това, ще е нашата средна стойност, 17,17 минус действителната средна стойност на нашата генерална съвкупност. Или всъщност бихме казали, че действителната средна стойност на извадковото ни разпределение, която ще е равна на действителната средна стойност на генералната съвкупност, защото това там е нашата средна стойност на генералната съвкупност, разделена на s, което е 2,98 върху корен квадратен от броя елементи в извадката. Това сме го виждали много пъти. Това тук е Т-статистиката. И като взимаме тази извадка, можем да кажем, че произволно сме избрали една Т-статистика от това Т-разпределение с 9 степени на свобода. Така че има 95% вероятност това тук да е между... ще бъде по-малко от 2,262 и по-голямо от минус 2,262. Така че 95%-ната вероятност още е приложима тук. Сега само трябва да направим малко сметки, за да изчислим тези неща. Ето го моя калкулатор. Да сметнем този знаменател тук. Имаме 2,98 делено на корен квадратен от 10. Това прави 0,9423. И сега тук ще умножа двете страни на това уравнение по този израз тук. Като го направя – нека го направя – ако умножа това цялото... трябва да кажа, че в действителност имаме две уравнения или две неравенства. И тази стойност е по-голяма от тази стойност, и тази стойност е по-голяма от тази стойност. Но можем да извършим всички действия наведнъж в това цяло неравенство. Ще умножим цялото това неравенство по тази стойност тук. Пресметнахме го при тази стойност – нека го напиша тук – това 2,98 – ще го напиша тук – 2,98 върху корен квадратен от 10 е равно на 0,942. Т.е. ако умножим цялото това неравенство по 0,942, получаваме от лявата страна тук минус 2,262 умножено по 0,942 – и това е едно положително число, по което умножаваме цялото неравенство, така че знаците на неравенството ще са си в същата посока – по-малко от – умножаваме целия този израз по същия израз в знаменателя, така че се съкращават. Така ще имаме по-малко от 17,17 минус средната стойност на генералната съвкупност, което ще е по-малко от 2,262 умножено още веднъж по 0,942. Нека се преместя малко надясно. 0,942. Нека поясня, просто умножавам всичките три страни на неравенството по това число тук. По средата това се съкращава. И ако умножа – ще го запиша тук – 0,942, 0,942, 0,942. Това и това са едно и също число, поради което се съкращават. Изваждам калкулатора, за да намерим какви са тези числа. Имаме 0,942 умножено по 2,262. И ще кажем, по 2,262 дава 2,13. Така това число тук отдясно е 2,13. Това число отляво е същото с отрицателен знак. Т.е. минус 2,13. И пак имаме нашите неравенства – това ще е по-малко от 17,17 минус средната стойност, което е по-малко от 2,13. Следващото, което искам да направя, е да намеря тази средна стойност. Не ми харесва този отрицателен знак в средната стойност. По-добре да го обърнем. Нека имаме средната стойност минус 17,17. И сега ще умножа цялото това неравенство по минус 1. Ако направим това, ако умножим цялото това нещо по минус 1, това количество тук, минус 2,13, ще стане плюс 2,13. Но тъй като умножаваме едно неравенство по отрицателно число, трябва да обърнем знака на неравенството. Така че това "по-малко" ще стане "по-голямо". Това минус mu ще стане плюс mu. Това плюс 17,17 ще стане минус 17,17. Ще трябва да обърнем и знака за неравенство, и това плюс 2,13 ще стане минус 2,13. Почти сме готови, трябва само да намерим mu. Изразяваме това неравенство чрез mu. Сега можем да добавим 17,17 към всички три страни на това неравенство, и ни остава 2,13 плюс 17,17, по-голямо от mu минус 17,17 плюс 17,17, което е само mu, което е по-голямо от... това е по-голямо от mu, което е по-голямо от минус 2,13 плюс 17,17. Или по-естествен запис би бил, тъй като всъщност имаме един набор от знаци "по-голямо", това по същество е най-голямото число и това... о, извинявам се, това всъщност е най-малкото число, а това тук е най-голямото число, всъщност то се обърна – можем просто да препишем това неравенство по другия начин. А сега можем да запишем... всъщност нека само пресметнем колко са тези стойности. Така, имаме 2,13 плюс 17,17. Това е горния край на нашия интервал. И това е 19,3. Тази стойност тук, тя е 19... ще използвам същия цвят – тази стойност тук е 19,3, тя ще е по-голяма от mu, което ще е по-голямо от – и това е минус 2,13 плюс 17,17. Или можем да имаме 17,17 минус 2,13, което дава 15,04. И си спомни, цялото това нещо, всичко това, с което започнахме, имаше 95% вероятност дадена произволна Т-статистика да попадне в този интервал. Имахме една произволна Т-статистика, и направихме малко аритметически сметки. Така че има 95% вероятност всяка една от тези стъпки да е вярна. И има 95% вероятност това да е вярно. Има 95% вероятност действителната средна стойност на генералната съвкупност, която е равна на средната стойност на извадковото разпределение на средната стойност, има 95% вероятност, или имаме увереност, че е налице 95% вероятност това да попадне в този интервал. И сме готови!