Средна стойност и дисперсия на разпределение на Бернули пример

Да кажем, че мога да изляза и да анкетирам всеки член от генералната съвкупност, което не е особено практично, но мога да го направя, и попитам всеки един какво мисли за президента. Питам ги, но има само два възможни отговора, могат да дадат или отрицателна оценка, или положителна оценка. И да кажем, че след като анкетирам всеки един член на тази генерална съвкупност, 40% имат отрицателна оценка и 60% имат положителна оценка. И ако трябва да начертая разпределението на вероятностите, то ще бъде дискретно разпределение, защото има само две стойности, които да представляват отговора на участника. Участниците дават или отрицателна оценка, или положителна оценка. 40% дават отрицателна оценка... тук ще оцветя малко. И така, това тук са 40-те %, т.е. 0,4 или може би ще напиша 40% тук. И 60% дават положителна оценка. Ще оцветя и това. 60% с положителна оценка. И забележи, тези две числа имат сбор 100%, защото всички е трябвало да изберат един от тези два варианта. Ако аз те помоля да избереш произволен представител от тази генерална съвкупност и да определиш какво е очакването за положителна оценка от този член, какво би било то? Или друг начин да помислим за това, е въпросът каква е средната стойност на това разпределение? И за дискретно разпределение като това, средната стойност или очакваната стойност ще е равна на вероятностната пресметната сума на различните величини, която може да има разпределението. Начинът, по който съм го написал тук, не е възможно да се определи вероятността на пресметнатия сбор на u и f – не можем да кажем, че 40% умножено по u, плюс 60% умножено по f... това няма да ни даде никакво число. И това, което ще направим, е да определим u и f като имащи някаква стойност. Да кажем, че u = 0 и f = 1. И идеята да се разглежда вероятността за пресметнатия сбор има известен смисъл. И тази средна стойност, или можем да кажем средната стойност на това разпределение ще бъде 0,4 – това е тази вероятност тук, умножена по 0, плюс 0,6 пъти по 1, което ще е равно на 0,6 пъти по 1, което е 0,6. И така, очевидно, няма участник, който дава стойността 0,6. Никой не може да каже, че е 60% положително и 40% отрицателно настроен. Всички трябва да изберат или положително, или отрицателно. Така че няма никой, който има 0,6 стойност на положителна оценка. Или ще е 1, или ще е 0. И това е интересен случай, в който средната стойност или очакваната стойност не е такава, каквато разпределението може да покаже. Това е стойност, която е някъде тук, и очевидно е невъзможна. Но това е средната стойност, това е очакваната стойност. Причината това да има смисъл е фактът, че ако се направи проучване сред 100 души, това число ще се умножи по 100 и сигурно ще очакваме 60 души да кажат "да", или ако се съберат всичките, 60 биха казали "Да", а 40 – "Не." Като ги съберем всичките, ще получим 60%, които казват "Да", и това е същото, което ни казва разпределението на генералната съвкупност. И така, каква е дисперсията? Каква е дисперсията за тази генерална съвкупност? Дисперсията, ще я напиша тук и ще избера нов цвят – дисперсията е само... можем да я видим като вероятностно претеглен сбор от квадратите на отклоненията от средната стойност, или очаквания резултат от квадратите на разстоянията от средната стойност. И какво ще даде това? Има две различни стойности, които могат да се вземат. Или можем да имаме 0, или можем да имаме 1. Вероятността да получим 0 е 0,4. Има 0,4 вероятност да получим 0. И ако получим 0, какво е отклонението от 0 до средната стойност? Разстоянието от 0 до средната стойност е 0 минус 0,6, или дори мога да кажа 0,6 минус 0, същото нещо е, защото ще го повдигнем на квадрат. 0 минус 0,6 на квадрат... да не забравяме, че дисперсията представлява претегления сбор на квадратите на отклоненията. Това е разликата между 0 и средната стойност. Тогава имаме плюс, има 0,6 възможност да получим 1. И разликата между 1 и 0,6, 1 и нашата средна стойност 0,6 е тази. И тогава също ще повдигнем на квадрат това тук. Та каква ще е тази стойност? Тя ще е 0,4 пъти по 0,6 на квадрат – това е 0,4 умножено по... защото 0 минус 0,6 дава минус 0,6. Ако го повдигнем на квадрат, получаваме плюс 0,36. Така тази стойност тук... ще използвам съответния цвят. Тази стойност тук я умножаваме по 0,36. А тази стойност тук – нека я оцветя в друг цвят – така ще имаме плюс 0,6 по (1 – 0,6)^2. И така, 1 минус 0,6 е 0,4. 0,4 на квадрат е 0,16. Нека го запиша. Тази стойност тук ще бъде 0,16. Нека взема калкулатора за да изчисля това. Това ще е 0,4 по 0,36, плюс 0,6 по 0,16, което е равно на 0,24. Така стандартното отклонение на това разпределение е 0,24. Всъщност дисперсията на това разпределение е 0,24, а стандартното отклонение на това разпределение е равно на корен квадратен от това. Стандартното отклонение на това разпределение е равно на корен квадратен от 0,24, нека пресметнем колко е това. Ще получим... квадратния корен от 0,24 е равен на 0,48... ще го закръгля на 0,49. Това е равно на 0,49. Така че ако погледнем това разпределение, средната стойност на това разпределение е 0,6. 0,6 е средната стойност. А стандартното отклонение е 0,5. Стандартното отклонение е... то всъщност е тук – защото ако прибавим едно стандартно отклонение, почти ще стигнем до 1,1, което е едно стандартно отклонение над, и тогава едно стандартно отклонение по-долу ще ни доведе на това място. И това има някакво значение. Трудно е разбирането за дискретно разпределение, защото в действителност не можем да приемем тези стойности, но има смисъл разпределението да е изместено тук надясно. Както и да е, реших този пример с конкретни числа, защото исках да ти покажа защо това разпределение е практично. В следващия клип ще извърша тези изчисления с няколко общи числа, където това ще е р, което е вероятността за успех,а това е 1 минус р, което представлява вероятността за неуспех. След което ще имаме основни формули за средната стойност, за дисперсията и за стандартното отклонение на това разпределение, което всъщност се нарича схема на Бернули. То е най-простият случай на разпределение с два изхода за биномно разпределение.