Въздействие на трансформациите ( мащабиране и изместване) върху случайни променливи

Нека да е дадена случайната променлива х. Би могла да представлява височината на случаен минувач на улицата, който излиза от мола, или нещо такова. И ето тук е дадено разпределението на вероятностите ѝ. Изобразил съм я с тази камбановидна крива като нормално разпределение. Може да има много други разпределения, но за да бъде по-нагледно, в този пример приемаме, че това е нормално разпределение. И ние сме изобразили средната стойност на това разпределение ето тук. Също така съм изобразил едно стандартно отклонение над средната стойност и едно стандартно отклонение под средната стойност. Това, което ще направим в това видео, е да помислим как това разпределение и в частност как средната стойност и стандартното отклонение биват повлияни, ако прибавим дадена стойност към тази случайна променлива или ако я мащабираме. Нека първо помислим какво ще се случи ако имаме друга случайна променлива, която е равна на... нека наречем тази случайна променлива у, която е равна на каквато стойност приема променливата х, и ще добавим константа. Нека кажем, че извършваме събиране, така че ще добавим някаква константа тук. Аз ще я нарека k. Това не е случайна променлива. Това е константа. Може да е числото 10. Ако това са случайни височини на хора, излизащи от мола, тогава ние просто ще добавим 10 инча към височината им хей така, по някаква си причина. Може би искаме да открием разпределението на височините на хората с каски на главата или пък с шапки с пера или каквото и да е. Как това ще се отрази, или как средната стойност на у и стандартното отклонение на у е свързано с х? Можем да го изобразим. Как ще изглежда разпределението на у? Вместо това, вместо центъра на разпределението, вместо средната стойност да бъде тук в тази точка, ще бъде преместена надясно с k. Всъщност можем да преместим цялото разпределение надясно с k в този пример. Може би k е много голямо число. Може би изглежда ето така. Това е разпределението на случайната променлива у. И както виждаш разпределението просто е преместено надясно с k. Ние я преместихме надясно с k. Щяхме да я преместим наляво, ако k беше отрицателно число или ако изваждахме k. И това очевидно променя средната стойност. Средната стойност сега ще бъде с k по-голяма. Можем да го напишем. Можем да кажем, че средната стойност на нашата променлива у е равна на средната стойност на х, средната стойност на променливата х плюс k, плюс k. Можеш да го видиш тук. Но променило ли се е стандартното отклонение? Не забравяй, че стандартното отклонение е начин да измерваме типичното разсейване от средната стойност и това няма да се промени. За нашата променлива х тази дължина тук е едно стандартно отклонение. Е, това ще бъде същото като едно стандартно отклонение ето тук. Това тук е едно стандартно отклонение. Това ще бъде същото като стандартното отклонение за променливата у. И можем да кажем, че стандартното отклонение на у, на случайната променлива у, ще е равно на стандартното отклонение на случайната променлива х. Следователно, ако просто прибавим константа към случайна променлива, ще се промени средната стойност, но не и стандартното отклонение. Виждаш го изобразено тук. А какво ще стане, ако мащабираме случайната променлива? Нека да имаме друга случайна променлива, не знам, нека я наречем z. И нека z е равно на някаква константа умножена по х. И не забравяй, че тук k не е променлива, а просто число. Може да е например числото две. Нека помислим какво ще се случи. Нека да начертая отново разпределението на променливата х. Нека видим, ако k е равно на две, това разпределение ще бъде мащабирано. Ще бъде разтеглено с фактор две и тъй като площта винаги трябва да бъде 1, всъщност ще "спадне" надолу отново с коефициент две, така че да има същата площ. Аз мога да го направя с моя чертожен инструмент. Нека да опитам, първо ще го разтегля, опа, всъщност първо ще го направя по-ниско с коефициент две, но по-важно, ще бъде разтеглено с коефициент две. Нека да напасна осите, така че да можем да го възприемем. Би изглеждало горе-долу така. Би изглеждало горе-долу така, когато мащабираме случайната променлива. Така ще изглежда разпределението на нашата променлива z. Ще го направя в цвета на z, за да е ясно. И сега можеш да видиш две неща. Първо, средната стойност със сигурност се премести. Средната стойност със сигурност беше избутана навън, със сигурност се уголеми. Но също виждаме, че стандартното отклонение се уголеми, стандартното отклонение на z ето тук, то също се уголеми, всъщност се оказва, че е уголемено с коефициент k. Следователно ще е равно на k, умножено по стандартното отклонение на случайната променлива х. И се оказва, че средната стойност ето тук... нека да напиша и това... Средната стойност на случайната променлива z е равна на... Тя също ще бъде уголемена и ще бъде k-пъти средната стойност на случайната променлива х. Важните изводи тук са, че ако имаш една случайна променлива, която е получена чрез добавяне на константа към друга случайна променлива, това ще премести средната стойност с тази константа, но няма да има ефект върху стандартното отклонение. Ако обаче мащабираш, ако умножиш една случайна променлива, за да получиш друга, с някаква константа, то това ще промени и стандартното отклонение, ще го мащабира, и ще промени средната стойност.