Сечение на окръжност и хипербола

Окръжността с уравнение: х^2 + у^2 – 8х = 0 и хиперболата с уравнение: х^2/9 – у^2/4 = 1 се пресичат в точките A и B. В задача 46 се търси уравнението на окръжността, чийто диаметър е отсечката AB. Нека първо направим груб чертеж. Уравнението на окръжността е х^2 + у^2 – 8х = 0. Нека го преобразувам така: х^2 – 8х + у^2 = 0. Добавям 16 към двете страни. Така допълвам квадрата за х. Плюс 16 тук. Това става (х – 4)^2 + у^2 = 16. Ще начертая окръжността. Това е оста х. Това е оста у. Центърът на окръжността е в (4; 0). Това е точката тук. Радиусът ѝ е 4. Това 16 е квадратът на радиуса. Значи радиусът е 4. Отмервам 4 мерни единици нагоре, надолу, наляво и надясно от центъра Тези четири точки ще лежат на окръжността. Ще го начертая малко по-точно. Ето това са точки от окръжността. Тя ще изглежда така. Не е най-добре нарисуваната окръжност, Но общата идея е ясна. Това е нашата окръжност. Имаме дадена и хипербола. х^2/9 – у^2/4 = 1. Тя ще се отваря наляво и надясно, тъй като членът с х е положителен. Нека я начертаем. Можеш да намериш асимптотите. Нека го направя. Да реша за у. Преобразувам уравнението: – у^2/4 = –х^2/9 + 1. Просто извадих члена с х от двете страни. Да умножим двете страни по –4. Става у^2 = 4/9*х^2 – 4. Или у е равно на, тук ще използваме само положителния корен, защото целта на това е само да видим асимптотите, у = корен от 4/9(х^2 – 4). Колкото повече расте х, толкова по-малко значение ще има тази четворка. Когато х се доближава до безкрайност, у ще се доближава до корен от 4/9 х^2. Тази константа няма да има голямо значение. Значи и у ще се доближава до 2/3х. Нека си представим наклон от 2/3. За 3 единици надясно, имаме 2 нагоре. Асимптотата ще изглежда така. Хипорболата ще се приближава към тази права. И ще бъде симетрична, значи също ще се доближава и до тази права, 3 надясно и 2 надолу. Да намерим къде хиперболата пресича оста х. Просто задавам у = 0. Получава се (х^2)/9 = 1. Значи х ще е равно на +/–3. Положителната точка ще е тук. Десният клон на хиперболата ще изглежда така. Хиперболата има и ляв клон, но той не ни интересува, защото не се пресича с окръжността. Дадено ни е, че пресечните точки на хиперболата и окръжността са А и B. Означаваме тази точка с А, а тази с B. Пита се за уравнението на окръжността с диаметър отсечката АB. Тази отсечка е диаметърът ѝ. Да я начертая по-право. Значи търсим уравнението на една окръжност тук. Нека първо намерим А и B, общите точки за дадените окръжност и хипербола. Най-лесно е да видим, че в двете точки имаме две зависимости за х и у. Това са уравненията на окръжността и хиперболата. Нека намерим от едното у^2 и да заместим в другото. Така ще намерим стойностите на х в тези точки. Това е стойността х тук, която е една и съща за двете точки. След това ще можем да намерим и стойностите на у. Абсолютната стойност на у ще е радиусът на окръжността, а центърът ѝ ще е в точката (х ; 0 ). От това ще намерим и уравнението. Да започнем. В жълто ще преобразувам уравнението на дадената окръжност. Ще извадя х на квадрат и -8х от двете страни на уравнението, за да оставя само у на квадрат отляво. Изваждам -8х, значи добавям 8х към двете страни. После изваждам х на квадрат. Просто преместих тези двете към дясната страна на уравнението. Сега мога да заместя този израз вместо у на втора в уравнението на хиперболата. Уравнението на хиперболата е х на квадрат върху 9 минус у на квадрат върху 4 равно на 1. Тук вместо у на квадрат в пресечните точки ще е вярно да сложим 8х минус х на квадрат. Да опитаме да решим това уравнение. Това е обикновено квадратно уравнение, макар още да не изглежда така. Да го опростим. х на квадрат върху 9 минус 8х върху 4, което е 2х, плюс х на квадрат върху 4, просто разписах умножението по -1/4 тук, е равно на 1. Да умножим всичко по 36, за да се отървем от дробите. То е 4 по 9. Значи 36 делено на 9 е 4, става 4х на квадрат минус, 36 по 2 е 72, значи 72х, плюс 36 / 4 , което 9, по х на квадрат равно на 36. Можем да съберем тези два члена. Става 13 х на квадрат минус 72 х, после изваждаме 36 от двете страни, минус 36 равно на 0. Това вече е стандартно квадратно уравнение. Нека намерим корените му х. Използваме формулата: х е равно на минус b, тук е минус -72, значи плюс 72 +/- корен от 72 на квадрат, ще го запиша като 72 по 72, минус 4 по ac, а е 13 и c е -36. Изнасям този минус отпред, за да стане плюс и записвам само 36 отзад. Цялото това е разделено на 2 по а, където а=13, значи делено на 26. Най-трудната част е да опростим това. Тук има нещо интересно. Нека преобразувам израза под корена. Ще го запиша тук отстрани. 72 по 72 е равно на 2 по 36 по 2 по 36, нали? 72 по 72 е равно на 2 по 36 по 2 по 36, нали? Всяка от тези двойки прави 72, затова моят запис е същото като 72 по 72. После добавяме 4 по 36 по 13, и имаме квадратен корен от целия израз. Ще продължа да пиша тук със зелено, за да не свърши мястото при корените. Можем да изнесем пред скоби 4 по 36. Тук 2 по 2 е 4, имаме и 36. Изразът става равен на, ще го напиша малко по-красиво, корен квадратен от 4 по 36 пред скоби, всъщност 4 по 36 е 144, но ще го оставя като 4 по 36. В скобите имаме: от първия член изнесохме двете двойки и едното 36, остава само 36, от втория член също изнесохме 4 по 36 остава плюс 13. Изразът става квадратен корен от, 4 по 36 е 144, по 36 плюс 13, което е 49. Имаме късмета, че тук получихме два точни квадрата. Изразът е равен на корен от 144 по корен от 49, което е 12 по 7, или 84. Опростихме х до 72 +/- 84 делено на 26. Тук целият радикал се опрости до 84, а отдолу имаме 26. Ако изберем да извадим 84, то ще получим отрицателно число х, което не се вписва на чертежа. Нужно ни е х с положителна стойност. Затова остава само да събираме с 84, нека го направим. Нека най-напред опростя малко, като разделя делимото и делителя на 2. х е равно на 36 плюс 42 върху 13. Става 78 върху 13. Изглежда, че 78 се дели на 13. 78 / 13 = 6. Получихме х=6, или х координатата на двете точки е 6. Тя се намира тук по оста х. Все още не знаем у координатите. Нека ги намерим. Това е лесно. Можем да заместим х=6 в някое от тези уравнения. В това ще ми е по-лесно. Имаме у на квадрат равно на 8х, 8 по 6 = 48, минус х на квадрат, 6 на квадрат е 36: 48 минус 36 е 12. Значи у е равно на корен квадратен от 12. Бихме могли да опростим този радикал. Но вече знаем точката А. Тя е (6 ; корен от 12). Центърът на търсената окръжност е ( 6 ; 0), Точката А е обща за всички наши фигури, и е с координати 6 и положителният корен от 12. Трябва да уточня, че у може да е и положителният, и отрицателният корен от 12. Трябва да уточня, че у може да е и положителният, и отрицателният корен от 12. Точката B тук ще е с координати 6 и отрицателният корен от 12. А тук е точката (6; 0), тя е центърът на търсената окръжност. Какво ще бъде уравнението на тази окръжност? Какво ще бъде уравнението на тази окръжност? Знаем нейния център. Той е в точката ( 6 ; 0 ). Нека го запиша тук. Центърът е в (6 ; 0 ). Значи имаме уравнение (х - 6 ) на квадрат плюс ( у - 0 ) на квадрат равно на квадрата от радиуса. Колко е радиусът? Това е дължината на тази отсечка тук. ТОва е и стойността на у в точката А. Значи корен квадратен от 12. Заместваме в квадрата на радиуса. корен от 12 на квадрат е 12. корен от 12 на квадрат е 12. Уравнението става такова. Да видим под каква форма е дадно в отговорите. Там всичко е канонично. Нека разкрием всички скоби. Става х на квадрат минус 12х плюс 26 плюс у на квадрат равно на 12. Можем да извадим 12 от двете страни. Изваждаме 12 и получаваме х на квадрат минус 12х плюс 24 плюс у на квадрат равно на 0. Да видим на кой от възможните отговори съответства. Ще копирам уравнението, за да го сложа тук горе. за да го сложа тук горе. Имаме х на квадрат и плюс у на квадрат, също минус 12х и плюс 24. Имаме х на квадрат и плюс у на квадрат, също минус 12х и плюс 24. Минус 12 х има само тук, също плюс 24. Правилният отговор е А. Нека проверя. х на квадрат плюс у на квадрат минус 12х плюс 24. Да, отговорът е А.