Определяне на обратимост на матрица

Може би по-интересно от това да намериш обратната матрица е да определиш кога не съществува обратна матрица или кога не е дефинирана. Квадратна матрица, която няма обратна (реципрочна), за която обратната е недефинирана, се нарича особена или необратима. Нека помислим как ще изглежда една особена матрица и как можем да приложим това към познатите ни задачи с матрици. Взимаме матрица 2 х 2, тъй като е по-простичък пример, а може да го разширим до квадратна матрица с всякакъв размер. Нека вземем нашата 2 х 2 матрица, на която елементите са a, b, c и d. Каква ще е обратната на тази матрица? Надявам се, че това вече ти е като втора природа. Тя ще е 1 върху детерминантата на А по спрегнатата форма на А. В този случай просто разменяме тези два елемента. Следователно имаме d и a. И правим тези двата елемента отрицателни. Следователно -с и -b. Въпросът ми е: Какво би направило целия израз недефиниран? Няма значение какви числа имам. Ако имам числа, които го правят дефиниран, тогава очевидно мога да ги разменя или да ги направя отрицателни и това да не промени тази част от израза. Това, което би създало проблем, е, ако се опитаме да разделим това на 0. Ако детерминантата на матрицата А беше недефинирана. Обратната А е недефинирана, ако и само ако... В математиката понякога го пишат с двойно f. Ако и само ако детерминантата на А е равна на 0. Погледнато по друг начин, ако детерминантата на коя да е матрица е равна на 0, тогава тази матрица е особена матрица и няма обратна, или нейната обратна е недефинирана. Нека помислим върху понятието... поне за двете задачи, които разгледахме... какво означава детерминанта равна на 0 и да видим дали можем да разберем защо няма обратна. Какво е нулева детерминанта? В този случай каква е детерминантата на тази 2 х 2 матрица? На какво е равна детерминантата на А? Равна е на ad минус bc. Следователно тази матрица е особена, тя няма обратна, ако този израз е равен на 0. Нека запиша това тук. Ако ad е равно на bc... можем малко да преформулираме и да кажем, че ако a/b е равно на c/d... просто разделих двете страни на b и на d. Ако отношението a/b е същото като отношението c/d, тогава няма да съществува обратна матрица. Записано по друг начин: Ако a/c... ако разделя двете страни на c и d... е равно на b/d. Ще бъде особена матрица и ако... Това всъщност е същият начин. Ако това е вярно, тогава и това е вярно. Тези са същите. Просто има малко алгебрично преформулиране. Ако отношението a/c е равно на отношението b/d... може да помислиш защо това е същото нещо. Отношението a/b да бъде същото нещо като отношението c/d. Както и да е. Не искам да те обърквам. Нека помислим как това се отнася за някоя от задачите, които разгледахме. Да кажем, че искаме да разгледаме задачата... Да кажем, че имаме тази матрица, представяща задача с линейни уравнения. Всъщност и двете стават. Имаме a, b, c, d по x, y е равно на други две числа, които не сме ползвали още: е и f. Ако имаме това матрично уравнение, представящо задачата с линейни уравнения, тогава тази задача ще се преобразува в а по х плюс b по y е равно на е. с по х, плюс d по y е равно на f. Ще искаме да видим къде се пресичат тези двете. Това ще бъде решението, векторното решение на това уравнение. За да си представиш как изглеждат тези две прави, нека го преобразуваме и да изразим y. Как ще стане? В този случай на какво е равно y? y e равно на -a/b по х плюс е/b. Прескачам някои стъпки. Просто изваждаш ax от двете страни, разделяш двете страни на b и получаваш това. После ако преобразуваш това уравнение по същия начин, изразяваш y. Получаваш, че у е равно на -c/d по х плюс f/y. Нека помислим върху това. Добре ще е да сменя цветовете, защото изглежда твърде... Нека помислим как биха изглеждали тези уравнения, ако това важеше. Ако това важеше, тогава нямаме детерминанта и това става особена матрица, и тя няма обратна. Щом няма обратна, не можем да решим това уравнение като умножим двете страни по обратната матрица, защото тя не съществува. Нека помислим върху това. Ако това е вярно, нямаме детерминанта, но какво означава това за нашите уравнения? Ако a/b е равно на c/d, тези две прави ще имат еднакъв наклон. Те ще имат еднакъв наклон. Ако тези два израза са различни, тогава какво ще знаем за тях? Ако тези две прави имат еднакъв наклон и различна пресечна точка с Оy, те ще са успоредни една на друга и никога няма да се пресекат. Нека начертая това, за да можеш... Не е нужно да са положителни числа, но тъй като това е отрицателно, ще начертая отрицателен наклон. Това е първата права. Ординатата на пресечната точка с оста y ще е e/b. Това е тази права тук. После втората права. Ще я направя в друг цвят. Не знам дали ще е под или над тази права, но ще е успоредна. Ще изглежда по подобен начин. Това е тази права. Ординатата на пресечната точка с оста y ще бъде f/y. Ако е/b и f/y са различни, но и двете прави имат същия наклон, те ще са успоредни и никога няма да се пресекат. Следователно няма да има решение. Ако някой ти каже... Ако беше решено по стандартния начин това със заместване или със събиране или изваждане на уравненията, нямаше да можеш да намериш къде ще се пресекат, ако a/b е равно на c/d. Можем да разглеждаме особената матрица сякаш е изградена от успоредни прави. Тогава може би ще си кажеш: "Хей Сал, но тези прави ще се пресекат, ако e/b е равно на f/y. Ако това и това са равни, тогава тези всъщност щяха да са идентични прави. Не само че щяха да се пресекат, те щяха да се пресичат в безкрайно много места. Но отново нямаше да имаш едно единствено решение. Нямаше да имаш едно единствено решение за това уравнение. Щеше да е вярно за всички стойности на х и у. Така че можеш да го разглеждаш, когато прилагаш матриците към задачата, че матрицата е особена, ако двете прави, които са представени, са или успоредни, или са една и съща права. Да са успоредни и да не се пресичат изобщо или да са напълно еднакви и да се пресичат в безкрайно много точки. Затова има смисъл, че обратната матрица на А не беше дефинирана. Нека помислим за това в контекста на линейната комбинация от вектори. Не исках да използвам това, за да изтрия. Когато разглеждаме тази задача от гледна точка на линейна комбинация от вектори, можем да мислим по този начин. Това е същото като вектор ac по х, плюс вектор bd по у е равно на вектор ef. Нека помислим върху това малко. Има ли някаква комбинация за вектор ac и вектор bd, която да е равна на вектор ef. Но тъкмо казахме, че ако тук нямаме обратна... Знаем това, защото детерминантата е 0. И ако детерминантата е 0, тогава знаем, че в тази ситуация а/с трябва да е равно на b/d. Следователно a/c е равно на b/d. Какво ни казва това? Нека го начертая. Може би числата ще са ни по-полезни тук. Мисля, че ще разбереш смисъла. Ще нарисувам първия квадрант. Ще предположа, че и двата вектора са в първия квадрант. Нека го начертая. Вектор ac. Да кажем, че това е а. Ще го направя в друг цвят. Ще начертая вектора ас. Ако това е а, а това е с, тогава векторът ас изглежда така. Нека го начертая. Искам да го направя хубаво. Векторът ас е така и после имаме стрелката. А как ще изглежда вектора bd? Вектора bd мога да го начертая произволно някъде. Предполагаме, че няма производна...извинете. Няма детерминанта. През цялото време ли казвах производна? Надявам се, че не. Предполагаме, че тази матрица няма детерминанта. Ако няма детерминанта, знаем, че а/с е равно на b/d. Или погледнато по друг начин c/d е равно на d/b. Това ни казва, че и двата вектора имат еднакъв наклон. Ако и двата започват от точка 0, те ще се насочат в същата посока. Може да имат различна големина, но ще се насочат в същата посока. Ако това е точка b, а това е точка d, вектор bd ще бъде тук. Ако това не ти е много ясно, помисли малко защо тези два вектора... ако това е вярно... ще сочат в същата посока. Следователно този вектор ще застъпва другия. Ще има същата посока като този вектор, но ще има различна големина. Може да има и същата големина. Въпросът ми е: не знаем къде е вектор ef. Нека изберем произволна точка. Да кажем, че това е e, а това е f. Следователно това е вектор ef. Нека го направя в друг цвят. Да кажем, че вектор ef е тук. Въпросът ми е: ако тези два вектора са в същата посока, може би с различни размери, има ли начин да събираме и изваждаме комбинации от тези два вектора, за да получим този вектор? Ами не, можеш да умножиш тези вектори или да ги събереш. Просто ще ги преместиш по тази права. Можеш да стигнеш до всеки друг вектор, който е кратен на един от тези вектори. Но тъй като тези имат същата посока, не можеш да стигнеш до вектор, който е в друга посока. Следователно ако този вектор е в друга посока, тук няма решение. Ако този вектор се окаже в същата посока като този, тогава ще има решение и ще можеш да ги приравниш. Всъщност ще има безкрайно много решения за х и у. Но ако векторът е малко различен по посока, тогава няма решение. Няма комбинация на този вектор и този вектор, при която след събиране да получиш този. Можеш да помислиш малко върху това. Може би ти е ясно, но друг начин да го погледнем е, че когато се опитваш да сумираш вектори, за да преместиш единия вектор в тази посока трябва да имаш малко от едната посока и малко от другата, за да стигнеш до другия вектор. Ако и двата начални вектора са с еднаква посока, няма начин да получиш друга. Май малко се повтарям с обясненията. Но се надявам, че това ти помага повече с разбирането. Сега поне знаеш какво е особена матрица. Знаеш кога не можеш да намериш нейната обратна матрица. Знаеш, че когато детерминантата е 0, няма да има обратна. Надявам се, че вече разбираш защо е така, което беше смисълът на цялото видео. Защото ако разглеждаш векторната задача, няма да има решение за намиране на комбинация от вектори, които да те доведат до този вектор, или че има безкрайно много решение. Същото е вярно при намиране на пресечната точка на две прави. Те са или успоредни, или са една и съща права, ако детерминантата е 0. Ще се видим в следващото видео.