Решени примери: Стратегии при използване на различните видове представяния на квадратната функция

Функция m е дадена в три еквивалентни форми. Кой вид на функцията най-лесно показва пресечната точка с оста у? Нека само да си припомним. Ако имам функция и начертая нейната графика, то координатата y = m(x). Казано ни е, че тези всичките са еквивалентни форми. Функция m е дадена в три еквивалентни форми. Би трябвало да мога алгебрично да преработя всяка една от тях, за да получа всяка от другите. И така, ако искам да начертая у = m(x)... нека да кажем, че тя изглежда по подобен начин. Знам, че това е парабола, отворена надолу, защото ако разгледам този вид тук, виждам, че коефициентът на члена от втора степен тук е отрицателен. Следователно това ще бъде парабола, отворена надолу. Това е груб неин чертеж. Ако говорим за пресечната точка с Оу, казваме: "Хей, къде функцията пресича оста у?" Каква е стойността на у, когато х е равно на 0? Това се свежда до въпроса колко бързо можем да изчислим m(0)? Колко е m(х), когато х е равно на 0? Колко бързо можем да изчислим m(0)? Ами в това горното уравнение мога да заместя х с 0 и имам –2 по –3 по –9. Изобщо не е трудно да го намерим, но ще има някакви изчисления наум. Подобно във втория отговор, за х = 0 получавам (–6)^2, което е плюс 36 по –2, което е –72. И след това трябва да го прибавя към плюс 18. Мога да го направя, но трябват малко изчисления. Но тук при този последния отговор, като той е познат като нормален вид, ако х = 0, този член изчезва, след това този член изчезва, и оставам само с m(0) = –54. И така, това тук е нормалният вид на функцията и той беше най-лесният. Знаем, че пресечната точка с Оу е (0; –54). Но трябва да сме предпазливи. Понякога може да имаш т.нар. параболичен вид на функцията. При него е най-лесно да определим върха. Но когато видиш това плюс 18 да стои там, то прилича много на това –54, което се намира тук. И се чудиш дали когато х е равно на 0, може просто да зачеркнеш това по същия начин, по който зачеркна тези членове. Много, много внимавай тук, защото ако х = 0, цялото това нещо не е равно на 0. Когато х = 0, както казах, имаш (–6)^2, което е 36, по –2. Това е равно на –72. Така че m(0) определено не е 18. Така че много, много внимавай. Виждаме, че най-добрият отговор е този нормален вид, а не параболичният или разложеният вид. Разложеният вид, както можеш да предположиш, е много добър за намиране на нулевите стойности на функцията. Нека решим още един пример. Всъщност това е същото m(х), но тук се иска нещо друго. Функцията е дадена в същите три форми. Кой вид най-лесно показва върхът на параболата? Преди малко нарекох това параболичен вид на функцията. Най-хубавото при този параболичен вид е, че можеш да определиш кога... Върхът на параболата е, когато това нещо тук е равно на 0. Откъде знам това? След като свикнеш с параболичния вид на функцията, ще го правиш без да се замисляш. Ако това е парабола, отворена надолу, параболичният вид е когато върхът се намира в точката на максимума. И както можеш да видиш тук, (х – 6)^2 винаги ще бъде неотрицателно число. Умножаваш го по –2 и винаги ще бъде неположително. То ще бъде или 0, или ще има отрицателна стойност, така че това винаги ще бъде на разстояние от това 18. Така че ако искаш да намериш върха, максималната точка тук е стойността на х, която прави това нещо равно на 0. Защото за всяка друга стойност на х, това нещо ще бъде отрицателно, то ще е различно от това 18. Можеш да намериш коя стойност на х ще направи този израз 0. Ако х = 6, 6 минус 6 е равно на 0, нула на квадрат е 0, по минус 2 е 0. Така че m(6) е равно на 18. Това ни показа много бързо, че върхът ще бъде в х = 6 и след това стойността на у там, или m(6) ще бъде равно на 18. Можеш да го направиш с тези другите също. Най-труден е нормалният вид на функцията. При него можеш да допълниш до точен квадрат или да използваш някакви други техники, или можеш да опиташ да го получиш в разложен вид. При разложения вид на функцията можеш да намериш нулите и след това ще знаеш, че координатата х на върха е на половината между координатите х на двете пресечни точки с х. И след това можеш да намериш стойността на у там. Но това определено е най-лесният вид. Параболичният вид на функцията. И какъв е върхът? Той ще бъде в точката (6; 18). Нека решим още един последен пример. Това е различна функция. Функция f е дадена в три еквивалентни форми. Кой вид най-лесно показва нулите или корените на функцията? Още веднъж, когато говорим за нули или корени, ако имаме... да кажем, че това е оста х... и ако имаш парабола, която изглежда така, корените са, или нулите са, стойностите на х, които правят функцията равна на 0. Или това са стойностите на х в пресечните точки с оста х, казано по друг начин. И така, какви стойности на х правят... или от кой вид най-лесно ще определим кога функцията е равна на 0? От коя от тези форми, защото всички те са еквивалентни. Можеш да разложиш първите две и би трябвало да получиш последната, която е нормалният вид. Кой вид е подходящ за определяне на нулите? При разложения вид мога просто да кажа: "Кое прави това нещо да е равно на 0, или това да е 0?" Защото това х, което прави първото нула или второто нула, ще направи целия този израз нула. Така че можеш бързо да определиш: Ако х = –1, това ще бъде 0. Или ако х = –11, това ще бъде 0. Това е много бърз начин да намерим нулите. Следващият вид е малко по-труден. Трябва първо да решим 3(х + 6)^2 – 75 = 0 Трябва да извършим няколко алгебрични действия и евентуално ще получим тези отговори. И така, тук бих изключил параболичната форма на функцията. При нормалния вид, първата стъпка, която ще направя, е да се опитам да го разложа. И след това от него ще намеря нулите. Но това определено е повече работа, отколкото ако вече го имам в разложен вид. Следователно разложеният вид е това, което ни трябва, когато се опитваме да намерим нулите. Като тук е казано да напишем една от нулите. Мога да напиша х = –1 или мога да напиша х = –11.