Въведение в деление на многочлени

Вече учихме за многочлени и даже отделихме известно време за събиране на многочлени, изваждане на многочлени, умножение на многочлени и разлагане на многочлени. В това видео искам да се запознаем с делението на многочлени. Например, ако е даден многочленът – това ще е многочлен от втора степен, нека да е х^2 плюс 3х плюс 2, и искаме да го разделим на многочлена (х + 1). Постави видеото на пауза и помисли как може да стане това. По колко трябва да умножим (х + 1), за да получим многочлена х^2 + 3х + 2? Единият начин да решим това е като опитаме да разложим многочлена х^2 + 3х + 2, което сме правили вече много пъти. Трябва да намерим две числа, чийто сбор е 3, а произведението им е 2. Почти веднага се сещам за числата 2 и 1. Можем да представим израза х^2 + 3х + 2 като (х + 2) по (х + 1). После този израз е върху (х + 1). Ако вземем израза (х + 2) по (х + 1) и го разделим на израза (х + 1), колко ще получим? Ще получим (х + 2). Това ще е равно – тук не са нужни скоби – равно е на х + 2. Ако искаме да сме максимално математически прецизни, трябва да кажем, че това е вярно, когато х не е равно на –1, защото, когато х е равно на минус 1, този израз, на който делим, ще е нула, ще трябва да делим на нула, а знаем, че това води до куп математически проблеми. Както виждаме, за всяко друго х, стига изразът в знаменателя да не е нула, изразът ще е равен на х + 2, защото (х + 2) по (х + 1) е равно на това, което имаме в числителя ето тук. Като навлизаме по-дълбоко в делението на многочлени, ще видим примери, които не може толкова лесно да се решат с разлагане. Тогава ще използваме една техника, която се нарича алгебрично деление на мночоглени (или деление с опашка). Алгебрично деление на многочлени, понякога наричано и деление с опашка. Ако това ти звучи познато, може би ти напомня за делението в четвърти и пети клас, тъй като процесът е наистина сходен, когато вземеш (х + 1) и търсиш колко пъти се съдържа в нашия многочлен х^2 + 3х + 2. И това е възможно. Нещо много... ще покажа много бързо един пример, като ще разглеждаме в бъдеще много по-подробно примери, в бъдещи видеа, но сега виж тук членовете от най-висока степен. Казваш: това е член от първа степен, това е член от втора степен. Колко пъти се съдържа х в х^2? Съдържа се х пъти. Значи поставяме х в стълба за първа степен, а после умножаваме х по (х + 1). х по х е равно на х^2. х по 1 е х. После изваждаме полученото от това тук горе. Може би вече виждаш някои прилики с делението на числа по този начин, което се учи доста по-рано в училище. Когато умножиш тези, тези се унищожават, остава 3х минус х. Остава 2х. Пренасяме надолу това 2. Значи 2х плюс 2. Питаме се: колко пъти х се съдържа в 2х? Съдържа се два пъти. Значи тук поставяме плюс 2. 2 по (х + 1). 2 по х е 2х. 2 по 1 е 2. Можем да извадим тези и тогава не остава нищо. 2 минус 2 е 0. 2х минус 2х е 0. Значи в този пример при делението няма остатък и получихме х + 2, което е същият отговор като тук горе. Има интересни случаи, които също ще разглеждаме в следващи видео клипове, когато получаваме остатък. Например, ако прибавим 1 към х^2 + 3х + 2, получаваме х^2 + 3х + 3. Ако опитаме да разделим този израз на (х + 1), тогава ще получим остатък. Можем да използваме и двата начина. Единият начин е, ако знаем че можем да разложим х^2 + 3х + 2, е да кажем, че това е същото нещо като х^2 + 3х + 2 + 1, а после целият този израз е върху (х + 1). После можем да кажем, че това е същото нещо като (х^2 + 3х + 2) върху (х + 1), плюс 1 върху (х + 1). Вече пресметнахме израза вляво, когато х не е равно на –1, това е равно на (х + 2). Това е равно на (х + 2), но после имаме тази единица ето тук, която не можем да разделим на (х + 1). Така че ни остава 1 върху (х + 1). Ще учим това много по-подробно в следващи видео клипове – какво означава този остатък и как да го изчислим, щом не можем да разложим на части числителя. Когато правим нашето алгебрично деление, ще видим, че остатъкът ще се появи на края, когато приключим делението. Ще видим такива примери в бъдеще.