Формула за сумата на крайна геометрична прогресия

Нека кажем, че имаме сума на геометрична прогресия. Има няколко неща, които знаем за тази сума на геометрична прогресия. Например знаем, че първият член на сумата е 'а'. Това е първият член. Знаем също и частното на геометричната прогресия. Ще го означим с 'r'. Това е частното на прогресията. Знаем също, че това е сума на крайна геометрична прогресия. Тя има краен брой членове. Нека кажем, че n е равно на броя на членовете. Ще използваме означението Sn, за да означим сумата на първите n члена. Целта на цялото това видео е като използваме тази информация, да намерим общата формула за сумата на първите n члена. Формула за изчисляване на сумата на геометричната прогресия. Нека разпишем Sn. Просто да добием представа как ще изглежда тя. Sn ще бъде равна на, тук имаш първия член, който е 'а' и след това какъв ще бъде вторият член? Това е сума на геометрична прогресия, така че ще имаме 'а' по частното на прогресията. Вторият член ще бъде първият по частното. Първият член по r. Какъв ще бъде третият член? Той ще бъде вторият член отново по частното на прогресията. Ще имаме ar по r или a по r на квадрат. Можем да стигнем така чак до n-тия член. Ще минем всички членове до n-тия член и може да се изкушиш да кажеш, че той ще бъде а по r на n-та степен, но тук трябва да сме внимателни. Защото забележи, че първият член е всъщност ar на нулева степен, вторият член е a по r на първа степен, третият член е a по r на втора степен. Така че всеки член е повдигнат на степен, която е номерът на члена минус 1. Ако се намираме на n-тия член, ще имаме a по r на степен (n - 1). Искаме да намерим една хубава и ясна формула за изчисляване на това, като ще използваме малък трик, за да го направим. За да го направим, ще разгледаме колко е r по сумата. Като ще го извадим. Ще изчислим колко е r по сумата, r по сумата на първите n члена. Всъщност нека просто умножим минус r. Можем просто да съберем тези две неща и ще видиш, че това изяснява нещата доста дорбе. На колко ще бъде равно това? Това ще бъде равно на, ако умножиш а по минус r, ще получим -аr. Просто ще го напиша под това. Ако умножиш това по минус r, ще умножа всеки от тези членове по минус r. Това е еквивалентно на умножение на минус r по сумата. Разпределям минус r. Ако го умножа по този член, а по минус r, ще имаме -аr. След това ако умножа аr по минус r, ще имаме минус а по r на квадрат. Може би виждаш, накъде отиват нещата. Само за да изясня какво се случва, имаме този член по минус r. Този член по минус r. Като ще продължим чак до члена преди този, по минус r. Членът преди това по минус r ще бъде, нека сложа знаците за изваждане, ще бъде минус а по r на степен (n - 1). Това беше членът точно преди това. а по r на степен (n - 2), по минус r, ще ни даде това. Получаваме точно това и накрая запазваме последния член и го умножаваме по минус r, и какво получаваме? Получаваш минус а по r на степен n. Умножаваш това по минус, получаваш минус а и след това r на степен (n - 1), по r или по r на първа степен. Това ще бъде r на степен n. Интересното тук е, че можем да съберем левите страни и да съберем десните страни. Нека го направим. От лявата страна получаваме Sn минус r по Sn, а от дясната страна се случва нещо много интересно. Забележи, че все още имаме това 'а'. 'а' е тук, но всичко друго, с изключение на това последното, ще се унищожи. Тези двете ще се унищожат. Тези двете ще се унищожат. Всичко, с което оставаме, е минус a по r на степен n. Ще имаме а минус а по r на степен n. Сега можем просто да решим за Sn и получаваме формулата, която търсим. Да видим, можем да изнесем Sn пред скоби от лявата страна. Получаваш Sn, сумата от първите n на брой члена. Изнасяш това пред скоби и ще имаме по (1 - r) е равно на, като от дясната страна можем всъщност да изнесем а. Ще имаме а по 1 минус r на степен n. За да намерим Sn, сумата от първите n члена -- тук заслужаваме аплодисменти -- S от n ще бъде равно на това, делено на (1 - r). Ще имаме а по (1 минус r на степен n) върху (1 - r). И сме готови. Намерихме формула за сумата на крайна геометрична прогресия. В следващите няколко клипа или в бъдещи клипове ще я приложим и ти препоръчвам когато използваш тази формула, много е важно наистина да проследяваш внимателно колко члена в действителност събираш. Понякога може да имаш означение за сума със символа сигма и той може да започва с индекс 0, и след това да стига до някакво число, в който случай ще имаш за член това число плюс 1. Така че трябва много да внимаваш. Това е броят на членовете. Това тук е първият член, определихме го тук горе. n е броят на членовете, първите n на брой члена, r е частното на прогресията.