Израз за граница на производна на линейна функция

Дадено е g(х) = –4х + 7. Колко е стойността на границата на всичко това, когато х клони към –1? Преди да започнем да разсъждаваме, нека да начертая правата. И ще помислим какво ни питат. Ще начертая осите. Това е вертикалната ос и това е хоризонталната ос. Това е оста х. Надписвам я с х. Ще построим графиката на g(х), като тя има положителна пресечна точка с оста у или с вертикалната ос. Наклонът е –4, така че ще изглежда като нещо подобно. Нека да се постарая. Ще изглежда ето така. Вече знаем, че наклонът е –4. Знаем това от самото уравнение, че наклонът е –4. И ни питат колко е границата, когато х клони към –1 на този израз. Ще нанеса точката в –1. Когато х е –1, това е ето тази точка. Тази точка тук е (–1; g(–1)). Ще надпиша всичко останало. Това е оста у. Това е графиката на у = g (х). Тук те определят наклона между произволна точка (х; g(х)) и ето тази точка. Да го направим. Да вземем друго х. Нека да е това х. Това е точката (х; g(х)). Този израз ето тук, обърни внимание, че това е промяната по вертикалата. Това е g(х). Ще го направя така. Това е промяната по вертикалната ос. Това е g(х) – g(–1). А това тук... всъщност ще го напиша по този начин, за да следиш цветовете – минус g(–1), цялото върху промяната по хоризонталната ос. Промяната по хоризонталата е това разстояние, което е същото като това разстояние. Забележи, промяната по вертикалата върху промяната по хоризонталата, като зелената точка е крайната точка. Това е х минус –1. Това е съвсем същият израз. Тези изрази са еднакви. Можем да ги опростим, минус –1, това става плюс. Това е +1. Но тези изрази са еднакви. Това е изразът практически за наклона между –1 и g(–1) и произволно х. Вече знаем, че каквото и х да изберем, наклонът между (х, g(х)) и тази точка ето тук е равен на константа. Това е наклонът на правата. Равен е на –4. Това е равно на –4. Независимо колко близко е х, независимо дали х клони отляво или отдясно. Това нещо, границата на това, това е просто –4. Това е просто наклонът на правата. Дори да намерим границата, когато х клони към –1, когато х е все по-близко и по-близко до –1, тогава тези точки просто ще бъдат все по-близо и по-близо. Всеки път като изчислиш наклона, това просто ще бъде наклонът на тази права, който е –4. Това може да се направи и алгебрично. Да го решим алгебрично. Просто да намерим границата, когато х клони към –1, на g(х). Вече знаем колко е g(х). То е –4х + 7, минус g(–1). Това е минус, колко е g(–1)? Минус 1 по 4 е плюс 4. +4 плюс 7 е равно на 11. Всичко това е върху х + 1. Всъщност това е х минус –1, може да го разглеждаш и по този начин. Но аз ще напиша просто х + 1. Това е равно на границата, когато х клони към –1, и в числителя... 7 минус 11 е равно на –4. Можем да изнесем пред скоби –4. Става –4 по (х + 1), цялото върху (х + 1). И понеже търсим границата, когато х клони към –1, можем да съкратим тези. И това ще бъде различно от нула за всяка стойност на х, различна от –1. Значи това е равно на –4. И по двата начина получихме –4. И както разбра, това е права, която има постоянен наклон. Това е просто наклонът между някаква произволна точка от правата и точката (–1; 11). (–1; 11), това е същото като наклонът на правата. Това е –4.