Диференциране на функции: Намери грешката

В това видео ще разгледаме решенията на други хора, които се опитват да намират производни, и ще видим дали логиката им е вярна, и ако не е вярна, ще се опитаме да определим какво е трябвало да направят или къде са объркали. Тук се казва, че Нейт се опитал да намери производната на (х^2 + 5х)sinx. Това е неговото решение. Вярно ли е решението на Нейт? Ако не, каква е неговата грешка? Спри видеото и виж дали можеш да намериш отговора. Вярно ли е решението на Нейт и ако не, каква е неговата грешка? Добре, предполагам, че се пробва. Нека го решим стъпка по стъпка. Тук той просто се опитва да приложи оператора за производни върху израза, което всъщност трябва да се направи. Той се опитва да намери производната на този израз и си казва: "Добре, това е произведение от два израза." После си казва:"Добре, това ще бъде същото нещо като производната... Или това е същото нещо като произведението от производните." Това е проблем. Сигурно знаеш, че ако смятаме производната на сбор от две неща, т.е. производната спрямо х на f(x) + g(x), това наистина е равно на производната на първата, f прим от х, плюс производната на втората, но това не е вярно, когато имаме произведение от функции. Производната спрямо х на f(x) по g(x) не е... Може би има някои много специални случаи, но обикновено няма да бъде просто произведението от производните. Няма да бъде f прим от х по g прим от х. Тук трябва да приложим правилото за производна на произведение. Това ще бъде равно на производната на първата функция по втората функция плюс производната... Нека го запиша така. Плюс първата функция, без да взимаме нейната производна, по производната на втората функция. Той е трябвало да приложи правилото за производна на произведение тук. Хайде да го направим, просто за да видим какъв е трябвало да бъде отговорът му. Трябвало е да направи... Ще взема червения ми химикал за поправки. Не е трябвало да прави това. Той казва да сметнем производната на това първо нещо... Нека всъщност го направя с цветове. Производната на това е 2х + 5. Трябвало е да бъде 2х + 5 по второто нещо, т.е. по sinx, по... Правим това в друг цвят. По sinx. И тогава към това той е трябвало да добави първото нещо, което е х^2 + 5х, по производната на второто нещо. Производната на sinx е cosx. Трябваше това да видим в тази стъпка тук. Не е трябвало просто да смята произведението на производните. Трябвало е да приложи правилото за производна от произведение. Решението му не е вярно, а грешката му е, че не е използвал правилото за производна от произведение. Той е предположил, че производната на произведение е същото нещо като произведението на производните. Хайде да направим още примери. Добре, да видим. Казва се, че Кейти се е опитала да намери производната на 2х^2 – 4, цялото на трета степен. Това е нейното решение. Вярно ли е решението на Кейти? Ако не, каква е нейната грешка? Отново спри видеото. Виж дали можеш да го решиш самостоятелно. Нека сега разгледаме решението на Кейти. Тя смята производната на това... Тук изглежда, че тя смята производната на целия израз спрямо вътрешния израз, което е близо до това да приложиш верижното правило вярно, но всъщност не го прилага вярно. Решението ѝ не е вярно, а грешката ѝ е, че не прилага правилно верижното правило. Само да преговорим. Верижното правило казва: Ако търсим производната спрямо х на f от g(x), тя ще бъде равна на производната на цялото нещо спрямо g(х)... Мога да запиша това като f прим от g(x) по производната на вътрешната функция спрямо х, т.е. по g прим от х. Тук можем да разгледаме нашата функция f като нещо, което повдига аргумента си на трета степен. Следователно това тук е f прим от g(x), но е забравила да умножи това по производната на вътрешната функция спрямо х. Тя е забравила да умножи това по производната на 2х^2 – 4 спрямо х, което ще бъде... Да видим. Производната на 2х^2... правилото за производна от степен... 2 по 2 е 4, следователно ще бъде 4х на първа, и тогава производната на –4 е просто 0. Следователно ще получим по 4х. Това е трябвало да направи, за да е вярно. Трябвало е да има това "по 4х". По 4х. Нейното не е вярно. Не е приложила правилно верижното правило. Хайде да направим още един от тези примери. Тук се казва, че Нджоман се опитал да намери производната на sin от 7х^2 + 4х. Това е неговото решение. Вярно ли е решението на Нджоман? Ако не, каква е неговата грешка? Спри видеото. Опитай се да го решиш самостоятелно. Това е производна на sin от този израз. Следователно трябва да използваме верижното правило. Използвайки верижното правило, намираме производната на външната функция спрямо вътрешната, т.е. производната на sin от нещо спрямо същото нещо. Получаваме cos от това нещо. Дотук добре. После умножаваме това по производната на вътрешната спрямо х. Производната на 7х^2 е 14х. Производната на 4х е 4. Всъщност тази стъпка изглежда добре, но тогава Нджоман прави нещо странно тук. Това е cos от 7х^2 + 4, а после цялото това по 14х + 4, но той се обърква, като гледа тези скоби, което се случва понякога. Това всъщност е една от основните грешки, за които ни казаха хората от Борда на колежите. Когато работим с трансцендентни функции като cos, sin, tg, ln, които се записват така, много хора виждат скобите и виждайки другите скоби, мозъкът им просто си казва: "О, нека умножа тези два израза в скобите.", но това не е правилно, защото ако съберем скобите, което се предполага тук. Не може просто да вземем 14х + 4 и да го умножим по това, приемайки, че смятаме косинус на цялото нещо. Тук Нджоман прави грешка. Решението е грешно, а грешката му е, че умножава тези два израза и взима косинуса на цялото нещо. Хайде да направим още един от тези примери. Учудващо забавно ми е. Този е малко сложен. Том се е опитал да намери производната на корен квадратен х върху х на четвърта. Това е неговото решение. Вярно ли е решението на Том? Ако не, каква е неговата грешка? Спри видеото и се опитай да го решиш самостоятелно. Изглежда, че се опитва да приложи правилото за производна от частно. Прилагайки правилото за производна на частно, в числителя взимаме производната на първия израз по втория израз и после минус първия израз по производната на втория израз, цялото върху... По-скоро производната на израза в числителя по израза в знаменател минус израза в числителя по производната на израза в знаменател, цялото върху израза в знаменател на квадрат. Това изглежда вярно. Вярно е приложено правилото за производна от частно. Изглежда, че Том правилно опростява. Производната на х на степен 1/2 е 1/2 х на степен –1/2. Това изглежда правилно. Производната на х^4 е 4х^3. Това изглежда правилно. Това алгебрично изглежда вярно. Да видим когато опростява. х на степен –1/2 по х на четвърта... Това ще бъде х на степен... Това корелира. Това се опростява до това, което изглежда вярно, а това се опростява до това, което изглежда вярно. Просто използваме свойствата на степените и тогава разделяме всичко на... Да видим. Имаме само х-ове на степен 3,5. Ще имаме –3,5х на степен 3,5 и тогава използваме свойствата на степените. Всъщност изглежда, че е направил всичко вярно. Това е правилният отговор. Решението му е вярно. Не е направил грешки. Но имам забележка към Том. Защото не е било нужно да прилага правилото за производна от частно. Направил е всички тези сложни сметки, но е можело много да се опрости. което е ключово да осъзнаем. Можело е да си каже: "Хей, това е същото нещо... Това е производната спрямо х на х на степен 1/2. Корен квадратен от х е това. По х на степен –4. 1 върху х^4 е това. Нека го направя с цветове. Това е същото нещо като това и това е същото нещо като това. Не е нужно даже да се използва правилото за производна от произведение. Може още да се опрости. Това е същото нещо, като да вземеш производната спрямо х на... Имаме същата основа, затова събираме степените. Ще получим х на степен –3,5 и можем да използваме само правилото за производна от степен. Това ще бъде равно на... Изнасяме –3,5 отпред. –3,5х на степен... Намаляваме това с 1. Изваждаме 1 от това. На степен –4,5. Както виждаш, можело е да стигне до този отговор много, много, много, много по-бързо, но той не е направил никаква грешки. Просто малка грешка в преценката, директно да почне с правилото за производна от частно, което бързо става много сложно.