Прилагане на верижното правило и правилото за диференциране на произведение

Това, което ще направим в настоящия урок, е да се опитаме да намерим производната спрямо x на x^2 sinx. Всичко това е на трета степен. И това, което ще бъде интересно, е, че има много начини да го направим. Насърчавам те да спреш видеото и да провериш дали можеш да се справиш самостоятелно. Действително има множество техники. Един начин е първо да приложим верижното правило. Ще напиша просто CR първо, което означава "Верижно правило" ("Chain Rule"). Това, което имам, е да намеря производната спрямо x на нещо, което е повдигнато на трета степен. Следователно ако търся производната ще бъде производната спрямо това нещо. Ще се получи три умножено по това нещо, на квадрат, умножено по производната спрямо x, от това нещо. Където това нещо в случая, е x^2*sinx. x^2*sinx. Това е просто приложение на верижното правило. Каква ще бъде втората част? Втората част тук ще я напиша с друг цвят. С оранжев. Тук ще приложа правилото за производна на произведение. Имам произведение на два израза. Така че ще намеря производната на това. Нека да го запиша. Това ще бъде правилото за произведение (съкратено PR от "Product Rule"). Правило за производна на произведение. Ще намеря производната на първия израз. И така, производната на x^2 е 2*x Нека да го запиша отдясно. Това ще бъде 2*x умножено по втория израз, т.е. sinx. Плюс първия израз x^2 умножен по производната на втория. cosx Това е просто правилото за произведение, което прилагаме за тази част ето тук. И всичко това, разбира се, е умножено по това отпред. Нека просто да го напиша отново. Всичко това мога да запиша като... нека да видим, това ще бъде три пъти, т.е. ако имам произведението, повдигнато на втора степен, мога да запиша всеки член на втора степен и след това да намеря произведението. (x^2)^2 е равно на x^4 Тогава (sinx)^2 е равно на sin на квадрат от x. Тогава всичко това е умножено по това. Ако желаем, можем да опростим алгебрично. Може да разкрием скобите и да извършим умножението. Какво ще получим в такъв случай? Нека да видим. 3*2 = 6 x^4*x e x^5. (sinx)^2*x умножено по sinx e (sinx)^3. Тогава, нека да видим, прибавяме 3*x^4 умножено по x^2, е x^6. След това имам (sinx)^2, (sinx)^2 по cosx. Ето, че го направихме! Това е една стратегия, чрез верижно правило първо и след това правило за произведение. Каква би била друга стратегия? Спри видеото и помисли самостоятелно. Може просто да използваме алгебрично свойствата на степените първо. В такъв случай това ще бъде равно на производната спрямо x на този израз, т.е. ако търся x^2 умножено по (sinx)^2, цялото на трета степен, мога вместо това да запиша (x^2)^3, което ще бъде x^6. След това (sinx)^3. sinx на трета степен. Използвам същото свойство на степените, което използвахме ето тук, за да опростим това. Ако повдигна някакво произведение на степен, то това е същото нещо като да повдигна всеки член на експонентата и тогава да умножа двете. Как да се справим с това сега? Е, това, което ще направя тук, е първо да приложа правилото за произведение. Нека го направим. Нека да приложим правилото за произведение. Ще намерим производната на първия израз. Производната на x^6 е 6 по x^5. Умножаваме по втория израз. sinx на трета степен. Или (sinx)^3. Прибавяме първия член x^6, умножен по производната на втория. Просто ще го запиша като d/dx от sinx на трета степен. За да решим това ето тук, определено има смисъл да използваме верижното правило. Използваме верижното правило. Как ще се получи за това? Имам производната на нещо, което е на трета степен. Следователно ще бъде три умножено по това нещо на квадрат, умножено по производната на това нещо. В този случай това нещо е sinx. И производната на sinx е cosx. След това имам цялото това нещо тук. Имам 6x^5 по sin на трета или (sinx)^3. Прибавяме x^6. Ако искам да опростя малко този израз, всъщност много ясно се вижда, че тези две неща са еквивалентни. Този член, ето тук, е точно еквивалентен на този член по начина, по който е записан. А това се получава точно, ако умножиш 3*x^6 по (sinx)^2 по cosx. Хубавото неща на математиката, е, че ако правим неща, които са обосновани, трябва да достигнем до същия резултат. Важното тук е, че съществуват множество стратегии. Може да приложиш първо верижното правило и след това правилото за произведение. Или може да приложиш първо правилото за произведение, а след това верижното правило. В такъв случай може да се спори кой от двата е по-бърз. Изглежда, че този отляво може да бъде малко по-бърз. Но понякога и двата начина са твърде близки. Понякога обаче ще бъде по-ясно кой начин е за предпочитане. Целта е да сведеш до минимум трудността, количеството от операции, т.е. вероятността за груби грешки, които може да допуснеш.