Пределни разходи и диференциално смятане

Нека да приемем, че ръководя някакъв вид фабрика и съм изучил процесите. Способен съм да разбера как разходите ми варират като функция на количеството за седмица, т.е. на период от една седмица. За да онагледя това, нека да го начертая. Мога да начертая тази функция на разходите. Това е моята ос на разходите. Това ето тук може да бъде моята ос на количествата. И така, това е количество, или q. Нека просто да кажем, че е q. Това е моята ос q. И функцията може да изглежда като нещо такова. Изглежда ми правдоподобно. Дори и нищо да не произвеждам, пак още имам сигурни разходи. Трябва да плащам наем на фабриката. Трябва да плащам на служители, дори и нищо да не произвеждам. Нека да приемем, че тези фиксирани разходи на седмица са 1000 долара. С нарастване на количествата нарастват и разходите ми. Ако произвеждам 100 единици ето тук, то разходите ми нарастват до 1300 долара. Ако произвеждам повече от това, се вижда, че разходите ми нарастват, и то нарастват дори с още по-висока скорост. Сега ще навляза в по-големи детайли относно неща като функция на разходите от областта на Икономиката, но това, за което искам да мисля в контекста на анализа, е какво представя производната на тази функция? Какво означава производната на C спрямо q, което може също да се запише като C' от q? Какво представлява това? Е, ако мислим за това визуално, знаем, че може да мислим за производната като за наклона на допирателната. Например това е допирателната в точката q равно на 100. Наклонът на допирателната може да се разглежда като C'. Или това е равно на C' от 100. Но какво ни казва наклонът? Наклонът е изменението на разходите ни, разделено на изменението в количеството. И това е наклонът на допирателната. Това е първото нещо, което научихме по анализ. Колкото по-малки и по-малки изменения избираме в количеството, всъщност намираме границата, когато изменението в количеството клони към 0. Ето как достигаме до това моментно изменение. Възможен начин да мислиш за това е, че това е моментната скорост. Това е скоростта, точно на границата, когато разходите се променят спрямо количеството. Ако искам да произведа само още една капка, един атом от това, което произвеждам, то с каква скорост ще се изменят разходите ми? Причината, поради която казвам точно на границата, е, че наблюдаваме, че това не е константа. Ако функцията на разходите беше права линия, то наклонът щеше да е постоянен. Допирателната щеше всъщност да съвпада със самата функция. Но виждаме, че ето тук се променя. Да се произведе този един атом в повече, ето тук струва по-малко, отколкото този допълнителен атом ето тук. Наклонът се увеличава. И това има смисъл. Може би използвам някаква суровина някъде по света. Като използвам все повече и повече от него, той става все по-оскъден. Пазарната цена на този материал нараства все повече и повече. Но може би ще възкликнеш, о, защо въобще ме интересува скоростта, с която нарастват разходите ми на тази граница? Което е причината да наричаме това пределни разходи. Е, причината да те интересува, е, че може да се опитваш да намериш кога ще спреш да произвеждаш? Нека да кажем, че това е портокалов сок. Ако знам, че следващия галон ще струва 5 долара, за да го произведа, а мога да го продам за 6 долара, то тогава ще го направя. Но ако следващия галон... ако тогава се намирам ето тук, и може би вече съм произвел много, и съм изкупил всички портокали на пазара, то сега трябва да транспортирам портокали от другата страна на планетата, където и да се намира това. И сега, ако този допълнителен галон от портокали, или галон от портокалов сок, ми струва 10 долара да го произведа, а няма да мога да го продам за повече от 6 долара, то за мен няма смисъл да го произвеждам. Следователно в контекста на анализа, или може да кажем в икономически контекст, ако може да моделираш разходите си като функция на количеството, то производната на тази функция представлява пределната цена. Това е скоростта, с която разходите нарастват за тази допълнително произведена единица продукция. Съществуват и други подобни идеи. Ако моделираме нашата печалба като функция на количеството, и намерим производната, то тя ще бъде нашата пределна печалба. Ако моделирахме приходите си, то това щеше да бъде нашият пределен приход. С колко нараства функцията на границата или... С колко нараства функцията, когато аргументът нараства, т.е. с нарастването на нашето количество на границата?