Диференциране на многочлени

Дадена ни е функцията f(x) и я дефинираме, използвайки полиномен израз. Тук искам да пресметнем производната на нашата функция, което ще направим като пресметнем производната на този полиномен израз и ще сметнем производната спрямо х. Първото нещо, което ще направя, е да намеря производната от двете страни. Можем да кажем, че производната на f(x) е равна на производната на х на пета плюс 2х на трета минус х на квадрат. За да ти стане по-ясен записа, можем да го направим и като оператор за производна. Искаме да сметнем производната на това, което е в скобите, спрямо х. Следователно производната на f спрямо х, която е просто f прим от х, ще бъде равна на... Сега можем да използваме правилата за диференциране. Производната от сбор или разлика на някакви неща е равна на сбора или разликата от производните на всяко нещо. Следователно е равно на производната от всяко от тези неща. Производната спрямо х... нека просто го запиша така... на този първи член плюс производната на този втори член минус производната на този трети член. Ще ги направя с различни цветове. Тук имах х на пета. Поставям х на пета тук. Тук имах 2х на трета. Поставям 2х на трета тук. И тук имах х на квадрат. Изваждам х на квадрат. Изваждам производната на x^2. Забележи, че всичко, което направих тук, е да разгледам производните индивидуално за всеки елемент и после ги събрах или извадих по същия начин, както бяха събрани или извадени преди това. На какво ще е равно това? Това ще бъде равно на: за х на пета можем да използваме правилото за производна от степен. Можем да извадим 5 отпред и да намалим степента с едно, и получаваме 5х на степен 5 минус 1, което, разбира се, е просто 4. После за това второто можем да го направим в няколко стъпки. Всъщност нека го запиша тук. Мога да запиша, че производната на 2х на трета е същото нещо като... Изваждаме константата отпред. 2 по производната спрямо х на х на трета. Това е едно от правилата за диференциране. Производната на константа по някакъв израз е същото като константата по производната на този израз. Каква ще бъде производната на х на трета? Можем да извадим 3 отпред и да намалим степента. Това ще бъде равно на: това 2 по 3 по х на степен 3 минус 1, което, разбира се, е степен 2. Тук ще получим 6х^2. Другият начин, по който можехме да го направим, е да запишем 6х^2 тук. Това ще бъде просто 6х^2. И вместо да правим всичко това, ще научиш като решаваш повече такива задачи, че можеше да направиш това наум. Тук имаме 3 като степен. Нека умножа 3 по този коефициент, защото това правим накрая така или иначе. 3 по коефициента е 6х и после 3 минус 1 е 2. Не се налага да правим това, но е хубаво да видим, че това идва от правилата за диференциране, за които говорихме в другите видеа. И накрая имаме минус... Използваме пак правилото за производна от степен. Изнасяме 2 отпред и намаляваме степента. Ще бъде 2 по х на степен 2 минус 1, което е просто 1. Можем просто да запишем 2х. Просто ей така успяхме да намерим производната на f. Може да попиташ: "Какво е това нещо тук сега?" Сега имаме израз, който ни дава наклона на допирателната. Можем да го разглеждаме като моментната скорост на изменение спрямо х за всяко х. Ако имахме f прим, да кажем f прим от 2, това ще ми даде наклона на допирателната към графиката на тази функция, когато х е равно на 2. Това го смятам, използвайки този израз. Това ще бъде 5 по 2 на четвърта плюс 6 по 2 на квадрат... 6 по 2 на квадрат минус 2 по 2... Минус по 2 по 2. Това ще бъде равно на: да видим, 2 на четвърта е 16, 16 по 5 е 80. Това е 80. После това е 6 по 4, което е 24. Тогава ще извадим 4. Следователно 80 плюс 24 е 104, минус 4 е равно на 100. Затова когато х е равно на 2, правата е доста стръмна. Наклонът е 100. Ако начертаем допирателната, когато х е равно на 2, за всяко положително преместване в посока х с 1 ще се придвижваме нагоре по у със 100. Това е наистина стръмно и има смисъл. Това е доста висока степен. х на пета и после прибавяме това към друга висока степен: х^3. После изваждаме ниска степен. Така че това се очаква.