Израз за граница на производна на функция (графично решение)

"С графиката на функцията f като помощно средство, изчислете следните граници." Първата е границата, когато x клони към 3 на f(x) – f(3) върху (x – 3). Нека да помислим за x минус... x = 3 е ето тук. Това точно ето тук е f(3) или бихме могли да кажем, че f(3) е 1, точно ето тук. Това е точката (3; f(3)). Всъщност те се опитват да намерят наклона между произволна точка x и тази точка, когато това x се приближава все по-близо и по-близо до 3. Така че можем да си представим x, който е по-голям от 3, да кажем, че това е ето тук. Ако се опитваме да намерим наклона между (x; f(х)) и (3; f(3)), виждаме, че придобива точно същата тази форма. Твоята крайна точка е f(x). И така, f(x) – f(3) е твоето изменение по вертикалната ос. Тоест ето това разстояние точно ето тук. И ще го разделим на изменението по хоризонталната ос, което е твоето изменение по x. А това ще бъде (x – 3). Това е точният израз, който имаме ето тук горе, когато избера това като произволна точка x. И виждаме, че този наклон... просто като наблюдаваме правата между тези два интервала... изглежда, че е –2. А наклонът е един и същ, ако го разглеждаме от другата страна. Ако x < 3, то тогава също бихме имали наклон от –2. Както и да го изчислим, имаме наклон –2. И това е важно, защото тази граница е просто границата, когато x клони към 3. Може да бъде, когато x клони към 3 от положителната посока или от отрицателната посока. Но и в двата случая наклонът, когато се приближаваме все повече и повече към тази точка ето тук, е –2. Сега нека да помислим за това какво ни питат тук. Имаме 8, f(8). Нека да помислим. Имаме 8. Това е (8; f(8)). Тоест това е (8; f(8)) точно ето там. И ни дават f(8 + h). Можем да се изкушим да кажем: 8 + h ще бъде някъде ето тук. Ще бъде нещо по-голямо от 8. Но забележи, че ни дават границата, когато h клони към нула от отрицателната посока. Да клони към 0 от отрицателната посока означава, че идваме към нулата отдолу. Намираш се около –1, –0,5, –0,1, –0,0001. Следователно h действително ще бъде отрицателно число. Тогава 8 + h реално ще бъде... Можем просто да изберем произволна точка. Може да бъде нещо като това ето тук. Това може да бъде стойността 8 + h. А това ще да бъде стойността на f(8 + h). Още веднъж, намират... Или този израз е наклонът между тези две точки. След това търсим границата, когато h клони към 0 от отрицателната посока. И така, когато h се приближава все по-близо до 0, това ето тук долу се премества все по-далеч надясно. А тези точки се приближават все повече една към друга. Това действително е просто израз за наклона на правата, приблизително... И виждаме, че е постоянен. Тогава какъв е наклонът на правата в този интервал? Можеш да го определиш визуално. Всеки път, когато x се изменя с 1, нашата функция f(x) се изменя с 1. Следователно наклонът на правата там е 1. Би било тотално различно нещо, ако това гласеше, че h клони към 0 от положителната посока. Тогава бихме гледали към точките ето тук. И ще видим, че бавно се приближаваме към един по същество вертикален наклон, т.е. един вид безкраен наклон.