Доказателство за производната на sin(x)

Тук сме записали две от най-полезните производни, които ти трябват в математическия анализ. Ако знаеш, че производната на sinx спрямо х е cosх и че производната на cosx спрямо х е –sinx, това може да ти помогне със смятането на други много по-сложни производни. В това видео ще влезнем малко по-дълбоко и всъщност ще докажем първата производна. Няма да доказвам втората. Всъщност можеш да я използваш, използвайки информацията от това, което ще направим с тази. Това е просто, за да сме сигурни, че някой просто не го е измислил, че има малко математически замисъл зад всичко това. Хайде да се опитаме да го сметнем. Производната спрямо х на sinx по дефиниция ще бъде границата при Δх, клонящо към 0, на sinx + Δх минус sinx, цялото върху Δх. Това е просто наклонът на правата между точката (х; sinx) и (х + Δх; sinx + Δх). Как можем да сметнем това? Можем да запишем sin(x + Δх), използвайки формулата за събиране на ъгли, която научихме от тригонометричните свойства. Това ще бъде същото нещо като границата при Δх, клонящо към 0... Ще запиша това, използвайки тригонометричното тъждество, като cos от х по sin от Δх + sinx по cos от Δх. После ще извадим този sinx. Минус sinx, цялото върху... Да видим дали ще мога да начертая сравнително права линия. Цялото върху Δх. Това може да се запише като равно на границата при Δх, клонящо към 0... Нека запиша тази част в червено. Това ще е cosx, sin от Δх, цялото върху Δх. После това ще бъде плюс... Ще направя това в оранжево. Имаме сбора от нещата отгоре, делено на Δх. Просто ги разбивам малко. Плюс sinx, cos от Δх минус sinx, цялото върху Δх. Запомни, че смятам границата на целия този израз. Границата на сбор е равна на сбора от границите. Това ще бъде равно на... Ще направя тази част в червено. Границата при Δх, клонящо към 0... Мога да запиша това като cosx по sin от Δх върху Δх плюс границата при Δх, клонящо към 0... Мога да извадя пред скоби sinx. По sinx... Изкарах това и ми остава cos от Δх – 1, цялото върху Δх. Това е тази граница. Да видим дали мога да опростя това още повече. Нека превъртя надолу малко. Мога да запиша лявата страна на израза като... Този cosx няма нищо общо с границата при Δх, клонящо към 0, затова можем да го сложим извън границата. Имаме cosx по границата при Δх, клонящо към 0, на sin от Δх върху Δх. Сега трябва да добавим това нещо. Да видим как ще запиша това. Имаме sinx тук. Всъщност нека запиша това малко по-различно. cos Δх – 1, това е същото като 1 – cos от Δх по –1. Следователно имаме sinx по –1, и тъй като Δх няма нищо общо със sinx, нека изкарам това, минусът и sinx. Следователно имаме –sinx по границата при Δх , клонящо към 0, на това, което ни остава: (1 – cosΔх) /Δх. Няма да го направя в това видео, но в други ведеа ще направя доказателството. В други видеа сме показали, използвайки теоремата за двамата полицаи, позната понякога и като теоремата сандвич, че границата при Δх, клонящо към 0, на sin от Δх върху Δх е равно на 1. От друго видео също знаем нещо, което е базирано на идеята, че тази граница е равна на 1, че тази граница тук е равна на 0. Какво ни остава тогава? Насърчавам те да гледаш видеата, които доказват това и това, макар че е много полезно като цяло да знаеш тези граница за математическия анализ, че това, което ще ни остане, е просто cosx по 1 минус sinx по 0. Всичко това просто ще изчезне и ще ни остане... Това ще бъде равно на cosx. И сме готови.