Класификация на фигурите чрез координати

В условието е дадено, че успоредникът АВСD има следните върхове, и са дадени координатите им, както се вижда на екрана. В задачата се пита дали успоредникът АВСD е правоъгълник и защо? Постави видеото на пауза и помисли върху това, преди да отговорим заедно на въпросите. Сега да решим задачата заедно. В общия случай, когато знаем, че една фигура е успоредник, и искаме да определим дали тя е правоъгълник, това означава да отговорим дали съседните страни се пресичат под прав ъгъл. Например, един успоредник може да изглежда ето така. (чертае) Това, което знаем за един успоредник, е, че срещулежащите му страни са успоредни помежду си, така че тази страна е успоредна на тази страна, а тази страна е успоредна на ето тази страна. Всички правоъгълници са успоредници, но не всички успоредници са правоъгълници. За да бъде правоъгълник един успоредник, неговите страни трябва да сключват прави ъгли. Очевидно е че по начина, по който начертах този успоредник, това не е правоъгълник. Но да видим дали можем да определим това въз основа на координатите, които са ни дадени в условието. За да ни е по-лесно да си го представим, ще начертая координатните оси. Ще начертая тук координатни оси. Това е оста х, а това е оста у. Да видим, координатите... имаме двойки, четворки, шестици, всъщност ще поставя деления до осем, ще направя деленията през 2 единици. Имаме две, четири, шест и осем. После имаме минус две, минус четири, минус шест и минус осем. Тук имаме две, четири, шест, осем, и после минус две, минус четири, минус шест и минус осем. Всяко деление е две единици. Броим през две. Сега ще нанеса тези точки, като ще използвам различни цветове, за да можем да ги различаваме. Точка А е с координати минус шест и минус четири. Значи минус две, минус четири, минус шест, тогава минус четири ще бъде ето тук. Това е точка А. Точка В е с координати минус две и шест. Тук ще бъде нагоре две, четири, шест. Това тук е точка В. Точка С е с координати осем и две. Това ето тук е точка С. Накрая, но не по значение, е точка D, която е с координати четири и минус осем. Това тук е точка D. Значи нашият четириъгълник, по-точно нашият успоредник, изглежда ето така. Това е страната АВ. Това е страната ВС. Това е страната СD. И това е страната AD. Вече знаем, че това е успоредник, следователно страната АВ е успоредна на страната DC, а страната ВС е успоредна на AD. Сега трябва да установим дали тези страни се пресичат под прав ъгъл. За целта ще използваме координатите, които знаем, за да намерим наклоните на отделните страни. Да намерим първо наклона на АВ. Наклонът на страната АВ е равен на промяната на у върху промяната на х. Промяната на у е равна на 6 минус –4, върху минус 2 минус –6. Това е равно на 6 плюс 4, което дава 10, върху минус 2 минус –6, Това е равно на минус 2 плюс 6. Значи върху 4, и получаваме, че наклонът е 5/2. Добре, това е интересно. Какъв е наклонът на страната ВС? Наклонът на ВС е равен на – отново – промяната на у върху промяната на х. Промяната на координатите у е 2 минус 6, върху 8 минус –2, което е равно на –4 върху... после 8 минус –2 е равно, което е 8 плюс 2 и дава 10, така че наклонът е равен на 2/5. В часовете по алгебра вероятно сте учили, че наклоните на правите, които се пресичат под прав ъгъл, или че наклоните на правите, които образуват прав ъгъл при пресичането си, са реципрочни и с обратен знак. Което виждаме ето тук. Тези стойности са реципрочни с обратен знак. Реципрочната стойност на този наклон е 2/5. Ако поставим обратен знак, в този случай знак минус, получаваме минус 2/5. Значи тези две прави са перпендикулярни. Това означава, че АВ е перпендикулярна, че страната АВ е перпендикулярна на страната ВС. Знаем, че това е вярно. Можем да продължим по същия начин за другите страни, обаче фигурата е успоредник. Щом една двойка страни се пресичат под прав ъгъл, тогава всички страни се пресичат под прав ъгъл. Можем да докажем това по-подробно, но засега имаме достатъчно основание да твърдим, че тази фигура е правоъгълник. Ако искаш, можеш да продължиш това доказателство и да докажеш, че тези са перпендикулярни, (показва на чертежа) тези две страни са перпендикулярни и тези две страни са перпендикулярни. Но да видим кой от предложените отговори съответства на нашите изводи. В отговор А се казва, че фигурата е правоъгълник, защото страната АВ е равна... Дължината на страната АВ е равна на дължината на страната AD. а дължината на страната ВС е равна на дължината на CD. Това може и да е вярно. Но не сме го доказали. Но само защото това е вярно, и понеже знаем, че ABCD е успоредник, не е достатъчно да заключим, че фигурата е правоъгълник. Например може да имаме успоредник, в който даже всички страни са равни. Например може да имаме успоредник, който изглежда по следния начин. (чертае) Но когато всички страни са равни помежду си, тогава имаме ромб, но не е задължително ромбът да е правоъгълник. Така че изключвам този отговор. Във втория отговор се казва че е правоъгълник, защото страната ВС е перпендикулярна на АВ. Да, ние видяхме, че стойностите на техните наклони са реципрочни и с обратни знаци помежду си. Освен това знаем, че АВСD е успоредник. Този отговор ми харесва. В следващите два отговора се казва, че фигурата не е правоъгълник, но ние вече доказахме, че тя е правоъгълник, така че ги изключвам.