Доказване с помощта на трансформации на трети признак за еднаквост на триъгълници (три съответно равни страни)

В това видео ще докажем, че ако имаме два различни триъгълника, в които съответните страни имат равни дължини, значи тази оранжева страна е равна на тази оранжева страна, тази синя страна е равна на тази синя страна, а тази сива страна е равна на тази сива страна, тогава можем да заключим, че тези два триъгълника са еднакви помежду си съгласно определението за еднаквост чрез изометрични трансформации. За да докажем това, трябва да докажем просто, че винаги съществува серия от изометрични трансформации, която изобразява триъгълник АВС в триъгълник EDF. Как ще го направим? В предишни уроци доказахме, че ако имаме две отсечки, които имат равна дължина, то тези отсечки са еднакви. Можем да ги изобразим една в друга с помощта на изометрични трансформации. Да извършим серия от изометрични трансформации, които изобразяват отсечката АВ в отсечката ЕD. Вероятно се досещаш как може да стане това. Ще транслираме точка А. Ще транслираме целия триъгълник отляво, така че точка А да съвпадне с точка Е, а после страната АВ може да се придвижи ето така, ще сочи в тази посока ето тук. После можем да извършим ротация около тази точка ето тук. Можем да наречем тази точка A'. Значи това е равно на точката А'. Извършваме ротация около тази точка, така че страната АВ да съвпадне със страната ED. Разглеждали сме това в други видео уроци. Значи в тази точка, тук точка D ще е равна на В', точката, в която се изобразява точка В. Въпросът е къде е точка С? Ако можем да докажем, че със сигурност точка С се изобразява или в точка F, или при друга изометрична трансформация изобразяваме точка С в точка F, тогава доказателството ще ни бъде завършено. Ще сме успяли да докажем, че със серия от изометрични трансформации можем да отидем от този триъгълник, или можем да изобразим този триъгълник в този триъгълник. За да видим къде се изобразява точка С, ще ни послужи пергелът. Знаем, че точка С е на точно такова разстояние от точка А – ще измеря разстоянието с пергел. Мога да направя и следното... Точка С е на точно такова разстояние от точка А. Това означава, че точка С трябва да лежи някъде върху тази крива ето тук, или върху тази дъга, която чертая. Това са точки, които са точно толкова отдалечени. Мога да направя цялата окръжност, но и така разбираш какво правя. Значи точка С, или можем да кажем точка С', ще се изобрази в някаква точка от тази окръжност, ако я разглеждаме спрямо точка А, защото това е разстоянието от точка С до точка А. Но ние също така знаем разстоянието между точка С и точка В. Ще използвам отново моя пергел. Точка С е на такова разстояние от точка В, следователно, щом точка В е изобразена в тази точка, това е точка В', тогава точка С', образът на точката С, ще лежи някъде върху тази крива. Можем да разглеждаме тези две криви като ограничения и така разбираме ,че точка С' трябва да лежи на тези две криви едновременно. Значи тя ще се намира или ето тук, където е F, така че ако изометричната трансформация ни доведе в точка, в която С лежи точно там, където лежи точка F, тогава сме готови с нашето доказателство. Намерили сме търсената изометрична трансформация. Друга възможност е когато правим трансформацията, точка С' да се окаже ето тук. Каква друга изометрична трансформация можем да използваме, така че точка С' да се окаже върху точка F? Спомни си, че другите две точки вече съвпаднаха с точките Е и D, така че ни е необходимо само точка С да съвпадне с точка F. Единият начин да разсъждаваме, е, че точка Е е равноотдалечена от точките С' и F. Значи това ще е равно на – можем да поставим тези знаци там, но след като вече сме дефинирали радиуса на тази арка, ние знаем, че точката С' в този случай точка С' е на същото разстояние от точка D, на каквото е и точка F. Единият начин да разсъждаваме е, да си представим една права между точка F и – ще използвам линийка тук, за да изглежда по-прегледно. . Представи си една права, която свързва точките F и C', като отново имаме случай, в който C' направо се нанася в точката F, в който точка С е от тази страна, така да се каже, и виждаме, че точката E, понеже е равноотдалечена от C' и F, би трябвало да лежи на симетралата на отсечката FC. Същото се отнася и за точките D и В'. Това трябва да е симетрала, защото тази точка е равноотдалечена от точките F и C'. Тази точка е равноотдалечена от точките F и C'. Множеството от точки, които са равноотдалечени от точките F и C' образуват симетралата на отсечката FC. Така че знаем, че тази оранжева линия е симетрала на отсечката FC. С какво ни е полезно това? Това означава, че ако след първата трансформация, с която искаме АВ да се изобрази в EF, ако точка C' се окаже тук или ето тук, просто трябва да направим само още една трансформация. Просто трябва да използваме осева симетрия спрамо ED или спрямо A'B', както искаш наречи оста, спрямо тази оранжева права, а после С ще съвпадне с точката F, защото оранжевата отсечка е симетрала. Мога да направя нещо ето такова. Тази дължина е същата като ето тази дължина, и понеже това е симетрала, когато извършваме осева симетрия, точката C' ще съвпадне с точката F. Осевата симетрия е изометрична трансформация, така че доказахме нашето твърдение.