Дължина на дъга за параметрични криви

Днес ще изследваме крива, за която х-координатите и у-координатите са дефинирани или са функции от трети параметър t. Можем да кажем, че х е функция от t, и че у е функция от t. Ако това ти изглежда непознато, ти препоръчвам да видиш уроците за параметрични уравнения в Кан Академия. Сега ще разгледаме общия случай в това видео, а в следващи уроци ще имаме конкретни примери. Сега ще изследваме графиката, която съответства на това, от t = а, това ето тук е t = а, когато тази точка е с координати (х(а); у(а)). Това е тази точка, и после отиваме от t = а до t = b. Кривата изглежда може би ето така, когато t = b. Тази точка тук има координати (х(b); у(b)). Да помислим как ще определим дължината на действителната крива, действителната дължина между t = а до t = b. За да помислим върху това, ще увелича мащаба, за да видим какво ще стане, когато имаме малка промяна в стойността на t. Да започнем от тази точка тук, и нека да има съвсем малка промяна на t, така че, да кажем, че отиваме от тази точка в тази точка с тази много малка промяна на t. Би трябвало да е много по-малко от това, но ако но начертая по-малко, няма да го виждаш. Да кажем, че това е нашата много малка промяна по протежение на кривата, по която се движим, и искаме да намерим тази дължина. Можем да го разделим на разстоянието, изминато спрямо оста х, и разстоянието, изминато спрямо оста у. Спрямо оста х, оста х ето тук, има съвсем малка промяна на х, и на какво е равна тя? Това е скоростта на промяна, с която се променя спрямо t, с която х се променя спрямо t, по съвсем малката промяна на t, като тук го записвам като диференциал, използвам идеята, че диференциалът е много малка промяна на тази променлива. Това не е формално доказателство, но искам да разбереш логиката откъде получаваме дължината на кривата, когато работим с параметрични уравнения. Надявам се, че разбираш, че това е нашето dх. Даже можем да го запишем и така: dx/dt, което е същото като х'(t)dt. После имаме промяната на у, където използваме същата идея. Промяната на у, изключително малката промяна на у, когато имаме нищожно малка промяна на t, можем да я разглеждаме като скорост на изменение на у спрямо t, по промяната на t, нищожно малката промяна на t, което ще бъде равно на: можем да го запишем като y'(t)dt. Сега, въз основа на това, колко е дължината на тази изключително малка крива ето тук? Можем да използваме питагоровата теорема. Това ще бъде корен квадратен от – това е хипотенуза на правоъгълния триъгълник ето тук. Значи е равно на квадратен корен от квадратите на двете страни. Значи корен квадратен от, ще си направя повече място, защото мисля, че ще ми трябва доста, значи израза в синьо на квадрат, dx, на квадрат, можем да го преработим като x'(t)dt на квадрат, плюс това на квадрат, което е y'(t)dt на квадрат. Сега да опитаме малко да опростим. Спомни си, че това е изключително малка дължина ето тук. Можем да изнесем пред скоби dt на квадрат, то участва и в двата израза. Можем да преработим това като, мога да го преработя, а после поставям знак за корен квадратен. Значи изнасяме пред скоби dt на квадрат, получаваме dt на квадрат по x'(t) на кадрат плюс у(t) на квадрат. И сега се вижда, че това е умножено по целия този израз ето тук. Ако това dt^2 е под знака за корен квадратен, можем да го изнесем и ще получим dt. Всичко това е равно на корен квадратен от... този израз е още под знака за корен, това ще бъде х'(t) на квадрат плюс у'(t) на квадрат. Сега изнесохме dt, Можех да го напиша ето тук, но просто го пиша от другата страна, просто умножаваме по 2. Още веднъж ще преработим израза за тази нищожно малка промяна на дължината. За щастие в анализа имаме инструменти, за да съберем всички тези нищожно малки изменения, и това става с определен интеграл. Какво да направим, за да съберем това и това, и това. Запомни, че това са нищожно малки изменения. Аз ги показвам по-едри, само за да можеш да ги виждаш, но ако съберем всички тези, това е равно на интеграл, като интегрираме спрямо t, започваме от t = а до t = b. Ето така поне теоретично изведохме формулата за дължината на кривата, когато имаме параметрични уравнения. В следващите уроци ще използваме тази формула, за да намираме дължини на криви.