Фундаменталната теорема на анализа и функциите на натрупването

Нека да е дадена функция f, която е непрекъсната в интервала между а и b. Правоъгълните скоби тук означават също, че a и b принадлежат на интервала. Нека да изобразим функцията, за да добием представа, за какво става дума. Това е вертикалната ос. Това е хоризонталната ос. Ще означа хоризонталната ос с t, за да запазя х за нещо друго. Тази ос все пак ще я означа с y. Нека начертая функцията. Тази крива тук е графиката на у е равно на f от t. Долната граница е числото а, което избираме ето тук. Горната граница е b. Нека да го изясня. И за да покажа, че крайните точки принадлежат на интервала, ще ги направя удебелени, запълнени линии. Долната граница е а, а горната е b. Потвърждаваме го и начертах функцията така, че f да е непрекъсната в този интервал. Нека сега дефинираме нова функция. Нека дефинирам друга функция, която обхваща площта под кривата между числото а и някакво друго число х, което принадлежи на интервала. Нека да избера това място х ето тук. Нека дефинираме новата функция, за да опишем площта под кривата между а и х. Как се означава площ под дадена крива между две избрани точки? Е, просто ще използваме определен интеграл. Това е Римановият интеграл. Точно сега, преди да достигнем до заключението от настоящия урок, този интеграл наистина представлява площта под кривата между две крайни точки. Може да запишем тогава, че това тук, е определеният интеграл от a до х, от f от t, dt. Целият този израз ще бъде функция на х, така че нека да го изясня. Променливата х се намира в интервала между а и b. Този определен интеграл ще бъде една друга функция на х. Стойността на интеграла зависи всъщност от това какво избираме за х. Нека да го дефинираме като функция на х. Ще означа, че е равно на главно F от х. Дотук добре. Главно F от х е функция и ако изберем стойност х, която се намира между a и b, ще изчислим площта под кривата, зададена с малко f от t, между а и х. А сега следва интересната част – фундаменталната теорема на математическия анализ. Фундаменталната теорема на анализа гласи следното... Нека го запиша, защото е много важно. Фундаменталната теорема – това не е съкращение – на математическия анализ гласи, че ако търсим производната на функцията с главно F... Нека се уверя, че имам достатъчно място тук. Търсим производната на функцията с главно F спрямо х – което е същото като да търсим производната на този израз, спрямо х - или производната на ето този определен интеграл. Нека го копирам. Копирам и го поставям, защото е същото нещо. Дефинирах функцията с главно F да е този израз. Тогава ако търся производната на лявата страна, то това е същото като да търся производната на дясната страна. Фундаменталната теорема на анализа гласи, че това ще бъде равно на функцията f от х с малка буква. Защо тази теорема е толкова важна? Защо е наречена с толкова важно име като "фундаментална теорема на анализа"? Тя гласи, че всяка непрекъсната функция f, или ако дефинирам функция, която обхваща площта под крива между а и числото х ето тук, то производната на тази функция ще бъде равна на f. Нека да го изясня. Всяка непрекъсната функция f притежава примитивна функция (антипроизводна), означена с голямо F от х. Това само по себе си е много хубаво нещо. Другото наистина хубаво нещо е следното. Предполагам, че двете са свързани по някакъв начин. Припомни си, че за да достигнем дотук, всичко, което направихме, беше просто да разгледаме определения интеграл като нещо, което представлява площта под крива между две точки. Това показва откъде идва Римановата дефиниция за интегриране. Сега обаче виждаме връзка между това и производните. Когато говорим за определен интеграл, един от начините да го разглеждаме, особено ако търсим определен интеграл между долната граница а и число х, е все едно да търсим примитивна функция. Сега вече виждаме връзката. Ето защо това е фундаментална теорема на анализа. Тя създава връзка между диференциалното и интегралното смятане. Връзка между производни, или следва да кажа между примитивни функции (антипроизводни) и интегриране. Преди настоящия урок разглеждахме интегрирането просто като площ под една крива. Сега виждаме, че има връзка с производните. Как всъщност ще използваме фундаменталната теорема на анализа? Може би в контекста на курса по анализ. Ще добием представа защо това е така, или защо е вярно, а може би и ще го докажем в следващи уроци. Как обаче наистина ще използваме това равенство тук? Да предположим, че някой ти е казал, че иска да намери производна. Нека да използвам друг цвят, за да запиша този пример. Нека да кажем, че някой иска да намери производната спрямо х на следния интеграл например. Ще избера произволна стойност тук. От π до х, като ще поставя нещо странно тук, косинус на квадрат от t, върху натурален логаритъм от t минус квадратен корен от t, dt. Искаме да намерим производната спрямо х на този странен израз. Спомни си, че това нещо в скобите е функция на х. Стойността му зависи от стойността на х. Ако изберем различна стойност за х, то стойността на израза ще се промени. Тогава на какво е равна производната на този израз, спрямо х? Фундаменталната теорема на анализа гласи, че може да се намери много лесно. Дори може да потърсим съответствия тук. А ще видим логиката на това в следващи уроци. Всъщност ние разглеждаме този израз тук като f от t. Навсякъде, където имаме t, го заместваме с х и получаваме f от x. Това ще бъде равно на косинус на квадрат от х върху натурален логаритъм от х минус квадратен корен от х. Намираме производната на неопределения интеграл, където горната граница е равна на х. Просто става така, че функцията, която интегрираме, вместо да е функция на t, сега вече е функция на х. Това наистина понякога опростява намирането на производна. Понякога на изпити са дадени подобни странни задачи, в които имаш подобен страховит израз и трябва да намериш определен интеграл от него, а след това и производната му. Тогава следва просто да си спомниш за фундаменталната теорема на анализа. Тоест нещото, което свързва всичко в едно. Свързва производните и интегрирането. Може да опростиш процеса, когато разбереш, че това просто ще бъде не функция на малко f от t, а ще стане функция на малко f от х. Нека да го изясня. В този пример тук, това ето тук, е функцията малко f от t. А сега ще стане функция малко f от x. Това ето тук беше нашето число а. Забележи, че няма значение на какво е равна действително долната граница. От дясната страна няма нищо, което да зависи от числото а. Надявам се, че урокът ти е бил приятен. А в следващите уроци ще помислим върху логиката и ще разгледаме повече примери, в които ще използваме фундаменталната теорема на анализа.