Въведение в несобствените интеграли

В настоящия урок искам да намеря площта под кривата у равно на 1 върху х квадрат. Долната граница за х е 1, а горната е неограничена и нараства безкрайно. Казваме, че х клони към безкрайност. Искам да намеря стойността на цялата тази площ. Един от начините да го направя е с неправилен определен интеграл. Или неправилен интеграл. Означаваме 1 като долна граница, а х нараства неограничено като горна граница. Следователно горната граница е безкрайност. Търсим интеграл от 1 върху х квадрат, dx. Нека да го изясня. Това тук е неправилен интеграл. Как наистина да решим този израз? Съгласно определението това е равно на границата, когато n клони към безкрайност, от интеграл от 1 до n, от 1 върху х квадрат, dx. Това е хубаво, защото знаем как да го решим. Това е просто определен интеграл, при който горната граница е n. Знаем как да изчисляваме граници. Може да намерим каква е границата, когато n клони към безкрайност. Нека видим дали можем да го направим. Втората фундаментална теорема на анализа, или втората част от фундаменталната теорема на анализа, гласи следното. Нека да запиша тази част с границата. Тази част ще я запиша отново. Имаме граница, когато n клони към безкрайност. Ще използваме втората фундаментална теорема на анализа. Ще намерим примитивната функция от 1 върху х квадрат, т.е. х на минус втора степен. Примитивната функция на х на степен минус втора, е минус х на степен минус 1. Минус х на степен минус 1, т.е. минус 1 върху х. Минус 1 върху х е примитивната функция. Ще я изчислим за n и ще я изчислим за 1. Това ще бъде равно на граница, когато n клони към безкрайност. Нека да видим. Ако изчислим тази граница за n, получаваме минус 1 върху n. Минус 1 върху n. От това ще извадим същата граница, изчислена за 1. Тоест минус 1 върху 1, т.е. минус 1. Тогава това тук е равно на минус 1. Ще изчислим границата, когато n клони към безкрайност, от ето този израз. Този израз е еквивалентен на този израз тук. Все още не сме изчислили границата. Това ще бъде равно на граница, когато n клони към безкрайност. Това тук е плюс 1. Може да запишем израза като 1 минус 1 върху n. За щастие, тази граница съществува. Границата, когато n клони към безкрайност, се приближава все повече и повече към 0. 1 върху безкрайност може да се разглежда като 0. Тогава този израз тук ще бъде равен на 1, което е много хубаво. Имаме ето тази площ, която няма дясна граница. Нараства неограничено. Получаваме обаче крайна стойност за площта, и тя е равна точно на 1. В тази задача имахме сходящ интеграл. Успяхме да изчислим този интеграл и да получим число, което означава, че границата съществува. Тогава казваме, че неправилният интеграл е сходящ. Ако по някаква причина този израз нараства неограничено, и не бяхме успели да достигнем до крайна стойност, т.е. ако тази площ нараства безкрайно, следва да кажем, че интегралът е разходящ. В тази задача получихме хубав резултат. Тази площ е равна точно на 1.