Въведение в интегрирането по части

Това, което ще направим в този урок, е да преговорим правилото за производна на произведение, което научихме преди време. И от него ще изведем формула за интегриране по части, което може да се разглежда като обратно на правилото за произведение. Нека е дадена функция, която може да се изрази като произведение от други две функции. f от х по g от х. Нека сега намерим производната на тази функция. Нека използваме оператора за производна. Преговаряме правилото за производна на произведение. Ще се получи производна от първата функция по втората функция. Ще използвам ето този син цвят. Ще се получи f' от х по g от х. Това не е същия цвят. И плюс първата функция по производната на втората. Първата функция f от х по производната на втората функция. Дотук всичко е преговор. Производна на първата по втората плюс първата функция по производна на втората функция. Нека сега интегрираме двете страни на уравнението. Примитивната функция на лявата страна е равно на f от х по g от х. Засега няма да мислим за константата. Може да я игнорираме. Това ще бъде равно на следното. А каква е примитивната функция на този израз? Това е примитивната функция на f' от х по g от х dx, плюс примитивната функция на f от х по g' от х, dx. Това, което искам да направя, е да изразя тази част ето тук. За да го направя, трябва да извадя ето този интеграл. Просто да го извадя от двете страни. Когато го направя отляво, остава f от х по g от х, минус този израз. Минус примитивната функция на f' от х по g от х, dx. Нека го запиша в розово. g от х, dx. Това е равно на израза, който искам да реша. Равно е на примитивната функция на f от х по g' от х, dx. За да стане малко по-ясно, нека разменя двете страни тук. Ще копирам и поставя тази част. Нека я копирам. Ето така. Нека сега копирам и поставя другата страна. Нека я копирам. Просто разменям двете страни, за да има вид, който може би ти е познат от учебниците по анализ. Това всъщност е формулата за интегриране по части. Ще я оградя в правоъгълник. В учебниците често е дадена оградена така. Така че ще направя същото. Това тук гласи, че ако е даден интеграл или примитивна функция от вида f от х по примитивната функция на друга функция, може да приложим тази формула тук. Може би си мислиш, че това не изглежда полезно. Първо следва да открия функция ето в този вид. Освен това остава интеграл във формулата. Това обаче, което ще видим в следващия урок, е, че тази формула наистина опростява много изрази, на които искаш да намериш примитивната функция.