Хармоничен ред и обобщен хармоничен ред

От много векове математиците са били запленени от безкрайните суми, които можем да наречем и редове, от 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4... и продължаваме така до безкрайност. Това е интересно на много нива. Изглежда като нещо, което е интересно да проучим. Това е 1/1 + 1/2 + 1/3 +... и всеки член става все по-малък и по-малък. Те клонят към нула, но когато съберем безкраен брой от тези членове, дали получаваме крайна стойност, или е разходяща сума, т.е. не получаваме крайно число? Това се наблюдава в музиката и може да е една от причините за изучаване на тези редове. Там където имаш един основен тон, основна честота в музиката, но целта на това видео не е да научим твърде много за музиката, но ако имаш основен тон, това може да е чисто ла или нещо такова. Просто показвам една от дължините на вълната. Очевидно, това продължава по този начин, понеже го правя на ръка, това не е идеално. Хармониците са честотите, обертоновете, поне за нашето ухо, които усилват това ла, и за хармониците важи, че те имат 1/2 от дължината на вълната на ла. В този случай ще изглежда приблизително така. Значи това е хармоник на ла. Има половината от дължината на вълната на ла, и обърни внимание, че когато завършва един пълен цикъл, завършва точно по същото време, когато завършва дължината на вълната на ла. Може да има друг хармоник, който ще има 1/3 от дължината на вълната на ла, или 1/4 от дължината на ла, и ако разгледаш голям брой музикални инструменти, или това, което звучи добре за ухото, те не свирят само основния тон, но и много хармоници. Както и да е, това беше доста многословен начин да обясня защо се наричат хармонични редове. Хармонични редове. В следващо видео ще докажа това, но сега не искам да издавам резултата, но това всъщност е разходящо, и ще изведем общи принципи кога редове, които изглеждат по този начин са сходящи или разходящи, но хармоничните редове определено са разходящи. Ако трябва да го запиша, със знака за сума сигма, ще изглежда така. За n от 1 до безкрайност сумата от 1/n. Друго интересно нещо е: какво ще стане ако сложим тук някакви степени? Вече казах, и само ще го препиша. Не пречи да го направим в по-познат за нас вид. Това е хармоничен ред. 1/1, което е просто 1, плюс 1/2 плюс 1/3, и така нататък. Какво ще стане, ако повдигнем всеки от тези знаменатели да кажем на втора степен? Ще получим нещо такова, където за n от 1 до безкрайност сумата от 1/n^2. Това ще изглежда ето така. Ще стане 1/1^2, което е 1, и можем целия член да запишем като 1, плюс 1/2^2, което е 1/4, плюс 1/3^2, което е 1/9, и така до безкрайност. Можем да го запишем в общ вид. Можеш да кажеш: а какво ще стане, ако имаме една цяла група от редове, които се описват по този начин? За n от 1 до безкрайност, сумата от 1/n^p, където р е произволен степенен показател. Например, това тук ще стане, ще бъде 1 + 1/2^р + 1/3^р + 1/4^р, като това не е задължително да са цели стойности. Например р може да е 1/2, и тогава ще имаме 1 + 1 върху квадратен корен от 2, плюс 1 върху квадратен корен от 3. Цялата тази група от редове, като хармоничните редове са специална извадка от тях, за която р = 1, това са така наречените р-степенни редове. Те са познати като р-степенни редове и се опитай да го запомниш, защото р идва от английската дума за степен (power), на която е повдигнат знаменателя. Можеш да разглеждаш това и все едно повдигаме целия израз, защото 1 на всяка степен пак е 1. Подсказах ти, че някои от тях ще са сходящи, а други ще са разходящи, което ще докажем в бъдещо видео, но общият принцип е, че когато р е по-голямо от 1, тогава редът е сходящ. Това е логично, защото означава, че членовете стават все по-малки и по-малки, защото колкото по-висока е степента в знаменателя, това означава, че знаменателят нараства по-бързо, което означава, че дробта намалява по-бързо, и ако р е по-малко или равно на 1, и разбира се, когато р = 1, това са известните хармонични редове, това е случаят, когато те са разходящи, като ще докажем това в бъдещи видео клипове.