Координатите спрямо ортонормален базис

Вече знаем какво представлява ортонормален базис, но оттук възниква следващият очевиден въпрос: за какво ни е нужен той? Един от многото възможни отговори е, че той е подходящ за координатна система или за координатни системи. Например, стандартният базис или стандартната координатна система – ще го запиша като стандартен базис в Rn – ако работим в Rn – стандартният базис за Rn е равен на – мога да го запиша като е1, е2 и така нататък, но всъщност ще запиша елементите на векторите. Знаеш, че е1 е просто една единица и всички останали елементи са нули. Тук ще има нули до n-ия елемент. е2 ще съдържа 0, 1 и после всички елементи са нули. После стигаме до еn, който съдържа само нули навсякъде, и накрая на място n има единица. Стандартният базис, с който досега работехме в този плейлист, беше ортонормално множество, ортонормален базис. Очевидно е, че дължината на всеки от тези вектори, е 1. Ако умножим скаларно този вектор по самия него, ще получим 1 по 1, плюс куп нула по нула. Значи това е дължината, повдигната на квадрат. Тя ще бъде 1. Това е вярно за всеки от тези вектори. Очевидно е, че те са ортогонални помежду си. Ако умножим скаларно някой от тези вектори по някой друг вектор, ще получим 1 по 0, и 1 по 0 и всички останали произведения ще бъдат нула по нула. Така че ще получим нула. Те очевидно имат дължина 1. И те са ортогонални. Очевидно, това е една добра координатна система. Ами другите ортонормални базиси? Очевидно това е един конкретен пример, с който исках да ти покажа, че всички ортонормални базиси са добри координатни системи. Да кажем, че имам някакво множество, някакво ортонормално множество от вектори. Значи това са v1, v2 и така нататък до vk. Това е ортонормален базис на някакво подпространство V. Това е k-мерно подпространство, защото имаме k на брой базисни вектори в базиса, или базисът съдържа k вектора. Сега да направим някои експерименти. Казвам, че координатната система спрямо този базис е добра. Но какво означава една координатна система да е добра? Искам да кажа, че стандартният базис е удобен за работа, но това, досещаш се, се дължи на това, че сме свикнали и ни е лесно да работим с него. Да видим, като казвам, че тази координатна система е добра, какво имам предвид в този контекст? Да поекспериментираме. Ако кажем, че някакъв вектор х принадлежи на V, това означава, че вектор х може да бъде представен като линейна комбинация от тези базисни вектори. Значи вектор х може да се представи като някаква константа по v1, плюс някаква константа по v2, и така нататък, до i-тата контастанта по vi, и така нататък, ако просто продължим по този начин, до k-тата константа по vk. Това означава един вектор да принадлежи на едно подпространство. Подпространството е определено от тези базови вектори, така че този вектор може да се представи като линейна комбинация от базовите вектори. Но какво ще се случи, ако умножим скаларно двете страни на това уравнение по вектор vi? Ще умножа скаларно по вектор vi двете страни на това уравнение. Значи умножавам скаларно вектор vi по вектор х, и на какво е равно това? Това ще е равно на... можем да изнесем константите – ще е равно на с1 по скаларното произведение на vi по v1, плюс с2 по vi . v2, плюс... и така нататък, до сi, по vi . vi, и продължаваме до сk, по vi . vk. Сега, това е ортонормално множество. Това означава, че ако взема два вектора, които са различни помежду си, и принадлежат на нашия базис, тогава ако ги умножа скаларно, ще получа 0. Те са ортогонални един на друг. Значи това са два различни вектора от нашето множество. Те ще бъдат ортогонални, защото този член ще бъде нула. Това ще е 0 по с1, значи дава 0. Този член ще бъде 0, като приемаме, че i не е 2. Просто да приемем това. Този член ето тук, приемаме, че i не е равно на k. И това ще бъде 0. Значи всички членове ще бъдат 0, освен случаят, когато v с индекс i е равно, в този случай на v с индекс i. Освен в този случай, когато този индекс е равен на този индекс. А колко е скаларното произведение на vi и vi? Знаеш, че ортонормален означава две неща. Векторите са ортогонални помежду си, и всеки от тях е нормализиран, т.е. всеки вектор е с дължина 1. Значи v с индекс i, умножено скаларно по v с индекс i ще е равно на 1. Това уравнение се опростява до v с индекс i... това е един от тези вектори, който принадлежи на нашия базис – скаларното произведение с вектор х – вектор х е произволен член на подпространството – това е равно на единственото нещо, което остана, и то е 1 по ci. Значи това произведение е равно на ci. Но с какво ни е полезно това? Ние просто си правим някакви експерименти, и получихме този резултат ето тук. С какво ни е полезно това, когато имаме координатна система спрямо този базис? Да си припомним какво представлява тази координатна система. Ако искаме да представим вектор х, който принадлежи на това подпространство, да го представим с координати спрямо този базис на подпространството – едно подпространство може да има много базиси, но това е този базис, който аз избирам сега. Така че, ако искаме да представим вектор х спрямо базиса В, какво ще направим? Координатите му ще бъдат просто коефициентите на различните базисни вектори. Това е просто преговор. Ще бъдат с1, с2 – отиваме надолу до ci, и после стигаме до ck. Ще имаме k-члена, защото имаме k-мерно пространство. Но това не е много лесно за намиране. Ако ми дадеш някакъв вектор х – виждали сме това. Ако имаме вектор х, представен в координатната система В, тогава можем да го умножим по матрицата на прехода, и можем да получим един обикновен вектор х. Но ако имаме обикновен вектор х, и трябва да намерим това, ако матрицата С е обратима, тогава можем да приложим тази формула ето тук, но това не винаги е възможно. Това е възможно само когато матрицата С е обратима. Преди всичко, матрицата С не винаги е обратима. Ако тя не е квадратна, то тази зависимост ([x]B = C обратна по х) няма да може да се използва. Това е един начин, когато е даден някакъв вектор х, да получим неговото представяне спрямо базиса В. Но ако матрицата С не е обратима, тогава няма да е възможно да решим това уравнение. Ще има нещо тук в дясната страна. Ще имаме матрица на прехода. После трябва да решим това уравнение. Досещаш се, за произволен базис това може да се окаже много трудоемко. А какво имаме тук? Имаме много сходно решение за намиране на различните координати на вектор х. Това е същото като да е равно на... с1 просто ще е равно на първия базисен вектор, умножен скаларно по вектор х. Казахме, че ci е просто i-тия базисен вектор, умножен скаларно по вектор х. Значи с1 ще бъде първият базисен вектор, умножен скаларно по вектор х. с2 ще бъде вторият базисен вектор, умножен скаларно по вектор х. И продължаваме по същия начин до сk, което ще бъде k-ия базисен вектор, умножен скаларно по вектор х. И сега ще ти покажа, че това всъщност е много лесно. Да разгледаме един конкретен пример. Ще оставя този резултат, за да го виждаш. Да кажем, че са дадени два вектора. Да кажем, че вектор v1 е вектор 3/5... Ще го запиша по следния начин: нека да е [3/5; 4/5]. Нека вектор v2 да е [–4/5; 3/5]. Нека множеството В да е равно на... то съдържа само тези два вектора, v1 и v2. Моето твърдение е, че това множество е ортонормално множество. Сега да го докажем. Колко е дължината, повдигната на квадрат, на вектор v1? Това е просто вектор v1, умножен скаларно по себе си. Значи (3/5) на квадрат, което е 9/25, плюс (4/5) на квадрат, което е 16/25, и това е равно на 25/25, което е равно на 1. Значи този вектор има дължина 1. Каква ще бъде повдигнатата на квадрат дължина на вектор v2? Това ще е това на квадрат. (–4/5) на квадрат е 9/25, плюс 3... извинявам се, (–4/5) на квадрат е 16/25. После 3/5 на квадрат е 9/5. Отново, дължината на квадрат е равна на 1, или дължината е 1. Значи тези два вектора имат дължина 1. И сега, за да проверим дали тези вектори са ортогонални помежду си – колко е скаларното произведение на векторите v1 . v2? Това е 3/5 по –4/5. Това е равно на –12/25, плюс 4/5 по 3/5, което също е плюс 12/25, значи това е равно на 0. Тези два вектора определено са ортогонални помежду си, и техните дължини са 1, така че това определено е ортонормално множество. И това също така означава, че те са линейно независими. Нека нашето множество В да е базис на някакво подпространство V. Всъщност, това не е... дори не е нужно да казваме това – това е базис на R2. Това е базис на R2. Но откъде знаем, че това е базис на R2? Имаме два линейно независими вектора в базиса, и линейната обвивка е двумерно пространство, R2, така че това трябва да е базис за цялото R2. Като имаме предвид всичко дотук, хайде да изберем някакъв произволен член на R2. Ако изберем произволен член на R2, нека това е вектор х, равен на... не знам, ще избера произволни числа, вектор х е [9; –2]. Ако не знаехме, че това е ортонормален базис, и ако искахме да представим вектор х в координати спрямо базиса В, тогава трябваше да съставим матрица на прехода. Матрицата на прехода ще бъде 3... ще я запиша – каквато трябва да бъде:[3/5; 4/5; –4/5; 3/5]. Матрицата на прехода по представянето на вектор х с координати спрямо базиса В е равно на стандартното представени на вектор х, т.е. на вектор х, представен със стандартни координати. Трябва да решим тази система 2 х 2, което не е чак толкова трудно. Но ние имаме този удобен инструмент за ортонормални множества или за ортонормални базиси. Вместо да решаваме уравнението, можем просто да кажем, че х, представен с координати спрямо базиса В, е равен на... ще се преместя малко надолу – ще е равно на v1, което е този вектор ето тук, умножен скаларно по вектор х. Значи това е скаларното произведение на вектор v1 по вектор х. А това тук ще бъде просто скаларното произведение v2 . x. Можем да направим това, защото това е ортонормален базис. И на какво е равно това? х е [9;–2]. Ако го умножим скаларно по v1, получаваме 9 по 3/5, което е 27/5. 9 по 3/5 е 27/5, плюс –2 по 4/5, това е равно на –8/5. –2 по 4/5 е –8/5. Вторият елемент е равен на скаларното произведение v2 . х. Значи скаларното произведение на векторите v2 . х. Получавам 9 по – ще се преместя надолу малко – 9 по –4/5, това е –36/5, плюс –2 по 3/5, това е плюс –2 по 3/5, което е равно на –6/5. Значи представянето на вектор х спрямо базиса В, като се възползвахме от това правило ето тук за ортонормалните базиси, и вектор х е равен на... какво е това? 27 минс 8, това са 19/5, после минус 36, минус 6, това са –42/5. Не е много красив отговор, но ние щяхме да получим този некрасив отговор и по двата начина. Но се надявам, че виждаш, че когато имаме ортонормален базис, намирането на координатите спрямо този друг базиз става много по-лесно. Това е просто един пример в R2. Можеш да си представиш колко трудно би било, ако имаме например R4 или R100. Тогава решаването на тази система няма да е лесно, но използването на скаларното произведение винаги е доста по-лесно. По-рано във видеото попитах за какво е удобен ортонормалният базис, и казах също, че стандартният базис е добър. Че това са добри координатни системи, използвали сме ги и преди. Но ние не разбираме добре какво означава една координатна система да е добра. Сега видяхме една причина защо тя е добра. С нея е много лесно да се намерят координатите, когато имаме ортонормален базис, или координати спрямо ортонормален базис.