Детерминанта на горна триъгълна матрица

Да кажем, че имаме една матрица, в която всички елементи под главния диагонал са нули. Ще започна... нека да започнем с пример с матрица 2 х2 . Имаме елементите a, b, 0 и d. Вместо с тук имаме 0, така че всичко под главния диагонал е нула. Каква ще бъде детерминантата на тази матрица? Да я наречем матрицата А. Детерминантата ще бъде равна на (a по d) минус (b по 0). Това е нула, така че няма нужда да го пишем. Равна е на а по d. Нека да имаме и друга матрица. Да я означим като матрицата В. Нека тя да е матрица 3 х 3. Нека елементите ѝ да са а, b, c, тук имаме нула. После – да кажем, че тук имаме d, e и после друга нула, друга нула тук и f. Повтарям, всички елементи под главния диагонал са нули. Каква е детерминантата на тази матрица? Научихме преди няколко видеа, че винаги можем да изберем реда или стълба, който има най-много нули. Това опростява ситуацията. Да намерим детерминантата с помощта на този стълб ето тук. Детерминантата на В е равна на а по детерминантата на подматрицата, получена като зачеркнем реда и стълба на елемента а. а по детерминантата на [d;e;0;f] и после минус 0 по неговата подматрица. Можем да съкратим – или по детерминантата на неговата подматрица, без този ред и този стълб. Получаваме [b;c;0;f]. После имаме плюс 0 по... зачеркваме този ред и този стълб, получаваме [b;c;d;e]. Очевидно тези двете ще бъдат нули. Тези две матрици не ме интересуват – няма да търсим техните детерминанти. Тези два члена ще бъдат нули, защото умножаваме по нула. Остава ни "а" по детерминантата на това, и тази детерминанта е много лесна за намиране. Ще имаме... ще бъде равна просто на "а" по детерминантата на тази подматрица, която е (d по f) минус (0 по е). Значи това е d по f. Детерминантата на В е равна на а по d по f. Обърни внимание, че детерминантата на А е само а и d. Може би виждаш някаква закономерност. И в двата случая имаме нули под главния диагонал, нали? Това е главният диагонал ето тук. Когато намерихме детерминантите на матриците, детерминантите се оказаха просто произведение на елементите по главния диагонал. Ако ти се струва, че това е обща тенденция, това наистина е така. Можем да го покажем за общия случай. Да разгледаме общия случай. Нека да имаме матрица А, която е равна на а11, после а22. Тук ще има 0. И после продължаваме надолу до аnn. В този ред всичко ще бъде 0, освен последния стълб. Всичко това са нули. Значи всичко под главния диагонал са нули, както тука, но това е общият случай на матрица n x n. Всичко тук горе – това не трябва да са нули. Това е а12 и така нататък чак до а1n. Това е а2n. Продължаваме надолу. Всички елементи под главния диагонал трябва да са нули. За да намерим детерминантата на матрицата А, трябва да направим същото като тук. Можем да използваме първия стълб ето тук. Детерминантата на матрицата А е равна на това – а11 по детерминантата на неговата подматрица. Това е а22, и продължава до а2n. После имаме а33 и така до ann. После всички елементи тук долу са нули. Повтарям, това отново е пример, в който всички елементи под главния диагонал са нули. Каква е детерминантата на тази матрица? Тук може да попиташ: "Ами останалата част от този ред?" Останалите елементи от този ред са просто нули, точно както ето тук. 0 по детерминантата на неговата подматрица, после имаме минус и плюс. 0 по детерминантата на неговата подматрица и т.н. Само трябва да внимаваме с този член ето тук. Същата логика можем да приложим тук. За да намерим детерминантата, можем да използваме този ред. Детерминантата ще е равна на... нека да го запиша – да не забравяме нашето а11. Детерминантата на това ще е а22 по детерминантата на неговата подматрица. Зачеркваме неговия ред и неговия стълб, и ни остава а33 чак до ann. Всичко тук е различно от нула, значи е а3n. После всичко под диагонала, отново, това са само нули. Всичко тук долу са само нули. Това е още един пример на това, което се нарича горна триъгълна матрица. Ще го запиша. Всяка матрица от този вид, където имаме нули под главния диагонал, се нарича горна триъгълна матрица. И продължаваме да повтаряме процеса отново и отново. Ако продължим по този начин отново и отново, сега ще получим, че детерминантата е равна на а33 по детерминантата на неговата подматрица. Всеки следващ път подматрицата става все по-малка и по-малка. Така евентуално стигаме до а11 по а22 по... и така до а с индекс (n – 2) по тази матрица 2 х 2. Това ще е равно на а(n – 1) по аn. Това е равно на а с индекс (n – 1)(n – 1), после а с индекс (n – 1)n. След това тук ще има нула. Това е просто долният десен ъгъл на оригиналната матрица, само това ще ни остане. А каква е детерминантата на това? Това е просто произведението на тези две неща. Тя е просто това по това минус това, по това, но това е просто нула. Така детерминантата на А става а11 по а22 и така нататък до аnn, или произведението на всички елементи по главния диагонал. Което е много важно, защото наистина опростява намирането на детерминанта, когато по друг начин би било трудно да се намери детерминантата на дадена матрица. Представи си, че това е матрица 100 х 100. Сега можем просто да умножим елементите по диагонала. Само да се уверим, че всичко е ясно, ще покажа един пример. Да намерим детерминантата на матрицата 7, 3, 4, 2, и тук имаме нули. Това е –2, 1 и , тук нула – извинявам се, тук не ми трябва нула. Не трябва да има нула тук. 6, 7... всъщност може да има нула тук, но не е задължително да има нула тук. Тук е 0 и тук е 0. Ето така. Значи това е горна триъгълна матрица – ако искаме да намерим нейната детерминанта, само трябва да умножим тези елементи тук. Детерминантата е равна на 7 по –2, по 1, по 3. Значи 7 по –6, което е равно на –42. Това беше много лесно.