Пресмятане на детерминанти чрез различни редове/стълбове

В последното видео изчислихме детерминантата на матрица 4 х 4 и установихме, че тя е равна на 7. Начинът, по който го направихме, беше да използваме първия ред. Използвахме определението, което дадох в последните няколко видеа, в което използвахме първия ред. Даже мога да го напиша тук. Казахме, че това е равно на 1 по детерминантата на 0, 2, 0, 1, 2, 3, 3, 0, 0. Минус 2 по детерминантата... зачерквам тези тук. Зачерквам този ред и този стълб. 1, 0, 2. 2, 2, 0, 0, 3, 0. После имаме плюс 3 по тази поддетерминанта. Не трябва да изчислявам това. Само зачерквам този ред и този стълб. После –4 по... продължавам да сменям знака... по детерминантата на тази подматрица. Значи тук имаме няколко члена и тук имаме няколко члена. Зачеркваме този ред и този стълб. Получаваме 1, 0, 2, 0, 1, 2, 2, 3, 0. Ще ги запиша ето тук. 1, 0, 2. 0, 1, 2. 2, 3, 0. Това е напълно легитимен начин да намерим нашата детерминанта. ... Това беше определението как се намира детерминанта. В това видео искам да ти покажа, че има повече от един начин за намиране на детерминантата. Сега ще ти покажа, че това същото, което направихме с първия ред, можем всъщност да го направим с всеки ред или всеки стълб на нашата детерминанта, или на нашата матрица. Причината това да е полезно, е защото можем да избираме редове или стълбове, които имат сравнително по-голям брой нули, защото това ще опрости нашите изчисления. Първото нещо, което трябва да направим, преди да изберем произволен ред или стълб, е... да кажем, че искаме да изберем този. Да решим с един ред и един стълб в този пример. Да кажем, че искаме да използваме този ред, защото ни харесва това, че в него има много нули. Първото нещо, което трябва да направиш, е да си спомниш модела. Спомни си, сменяме знака на коефициентите. Не просто сменяме знаците, когато слизаме с един ред надолу. Сменяме знака, когато се преместваме с един стълб. Така че общият модел за матрица 4 х 4 e следният: той е плюс, минус, плюс, минус, минус, плюс, минус, плюс. После имаш плюс, минус, минус, плюс, плюс. Това е като шахматна дъска. Ако искаме да определим знака за произволен елемент ij – да кажем, че искаме да определим знака на този елемент, той е 2,2. Ако искаме да определим знака – ще го напиша по следния начин. Значи имаме функция, ще дефинирам една функция. Мисля, че шахматната дъска е доста ясно сравнение, но все пак ще дам и това. Да кажем, че искам да определя знака – знакът не е тригонометрично тъждество. Искам да определя знака на произволен елемент, който е с индекс ij. Тогава повдигаме –1 на степен (i + j). Ако искаш да намериш знака на... да кажем на елемент в ред 4, стълб 2. Ред 4, стълб 2. Какъв ще бъде? Събираме 4 и 2. –1 на шеста степен е равно на 1. Значи това ще е +1. Ако вземем този елемент. Да кажем, че ни интересува този елемент. Тук i е равно на 2. j е равно на 3. Тук сме във втори ред, трети стълб. 2 плюс 3 е 5. Минус 1 на пета степен е равно на –1. Значи тук имаме минус. Това е друг начин да определим знаците. Но моделът на шахматната дъска е също много ясен. Сега, като си представяш една шахматна дъска, да разгледаме този ред. Да разгледаме този ред. Започваме с 2. Но обърни внимание, че трябва да го умножим по минус. Защото имаме плюс, минус, плюс, минус. Значи имаме –2 тук, по детерминантата на неговата подматрица. Зачеркваме този ред и този стълб. Остава ни тази матрица ето тук. Това е 2, 3, 4, 0, 2, 0, 1, 2, 3. Това е минус, а после ще имаме плюс. Значи имаме плюс 3 по... зачеркваме реда и стълба на този елемент. Имаме 1, 1, 0, 1, 1, 0. Ето това тук. 3, 2, 2. И имаме 4, 0, 3. После ще имаме минус, 0 по неговата подматрица, плюс 0. Но можем да игнорираме тези, защото 0 по всичко е 0. Вече опростихме малко нашата детерминанта. Да видим можем ли да изчислим това и да получим някакво число. Защото само тогава това ще е задоволително. Каква е детерминантата на този елемент? Ще използваме съвсем същия принцип. Можем да отидем на произволен ред или стълб, който изглежда доста по-лесен. Да отидем на този ред. Защото този ред изглежда особено лесен. Значи това ще е –2. Това е това –2 ето тук, по детерминантата на този елемент. Детерминантата на този елемент – само трябва да кажем, ОК, имаме плюс, имаме минус, после пак имаме плюс. Това ще е минус 0 по неговата поддетерминанта, предполагам, че мога да я нарека така. Зачеркваме този ред или този стълб и този ред. Ще стане минус 0, което умножено по каквото и да е ще бъде 0, плюс 2. Значи плюс 2 по детерминантата. Зачеркваме неговия ред и неговия стълб. 2, 4, 1, 3. После имаме минус 0 по това нещо. Но това е без значение, защото умножаваме по 0. Това се опрости до това, което е много хубаво. Ще го запиша по следния начин. После имаме плюс 3 по това нещо ето тук. Не искаме да работим с първия ред. В него няма нули. Да направим ето този ред ето тук, за известно разнообразие. Никой от стълбовете не изглежда интересен. Те имат най-много по една 0. Ако направим това тук, това е плюс, минус, плюс, минус, плюс. Значи имаме плюс 0 по 3, 4, 2, 0. Можем да игнорираме това. Минус 2 по детерминантата. Премахваме този стълб, този ред. Трябва да внимавам много. Поставих тук този минус, но тук нямаше –1. Ще го запиша като... искам да съм сигурен, че няма да допусна грешки от невнимание. Това е плюс 1. Написах –1 само да ти покажа как се сменят знаците. Значи това ще бъде 3 по... Слизаме надолу – това е тази тройка ето тук. Загубих си темпото с този минус тук. Значи търсим детерминантата на това ето тук. Това е 0 по тази матрица. Можем да игнорираме това. Минус 2 по неговата подматрица. Която е това и това. Значи е 1, 1, 4, 0. После имаме +3 по тази подматрица. 1, 3, 1, 2. Ето така. Да видим можем ли да опростим това. 2 по 3 е 6, минус 1 по 4. Значи става 6 минус 4. Това е 2. Това цялото нещо се опростява до 2 по 2, което е 4. 4 по минус 2. Това цялото се опростява до минус 8. Сега, това тук, имаме 1 по 0, което е 0, минус 1 по 4. Това е –4 по –2. Това цялото нещо става плюс 8. Имаме 1 по 2, което е 2, минус 1 по 3. Което е минус 3. Така получаваме –1. Значи това става минус... имам предвид, че става 2 минус 3, минус 1 по 3. Значи това е –3. Имаме 9 минус 3. Това става минус 5. Имаме 3 по –5 тук. 3 по –5 е равно на –15. Само да се уверя – о, допуснах глупава грешка. Ако имаме 8 минус 3, това е 8, това е минус, това ще бъде 5. Много е лесно. Мозъкът с е изпържва, когато правиш това твърде дълго. После имаме 3 по 5, което е 15. Получихме 15. После имаме 15. Този член тук плюс този член е 15, минус 8, което е 7. Което, за наше щастие, почти успях да не допусна грешки, получихме правилния отговор. Но това е много по-просто изчисление от това, което направихме в предишното видео. То е много по-просто, защото избрахме ред, който имаше много нули. Така че сметнахме само два члена, а не четири, както в предишното видео. Можеш да направиш същото, като избереш стълбове, в които има много нули. Само винаги трябва да използваш правилно модела на шахматната дъска.