Линейните трансформации като произведения на матрица с вектор

Дадена е матрица n x n, която изглежда ето така. Да видим дали ще успея да я представя в общия случай. В първи ред и първи стълб този елемент е 1, а всички останали елементи в останалите (n – 1) реда от този първи стълб са нули. Ще бъдат нули чак до n-ия елемент. Във втория стълб първият елемент е 0, след това вторият елемент е 1, а след това имаме нули чак до долу. И продължаваме така. В трети ред, или по-добре да кажа трети стълб, въпреки че го приложихме и за трети ред, 1 се появява като трети елемент и после има нули чак до долу. На практика единиците са по диагонала на матрицата ето тук. Докато стигнем чак до n-ия стълб или до n-ия вектор-стълб, има куп нули, имаме (n – 1) нули, и последният елемент, n-ият елемент е 1. На практика имаме матрица с единици по диагонала. Тази матрица притежава много полезни свойства и ние ще се занимаваме с нея повече в бъдеще. Искам да ти я покажа, защото тя има едно много полезно свойство по отношение на линейните трансформации. Ще нарека това единична матрица, ще я означа с I с индекс n, като индексът е n, защото това е (у нас единичната матрица се бележи с Е с индекс n) единична матрица с размери n x n. I с индекс 2 e единичната матрица 2 х 2, която ще изглежда ето така. Матрицата I с индекс 3 ще изглежда така: [1;0;0;0;1;0;0;0;1]. Мисля, че разбираш идеята. Полезната страна на тази единична матрица става очевидна когато я умножим по някакъв вектор. Можем да умножим тази матрица по някакъв вектор с n-компоненти, който принадлежи на Rn. Да го направим. Ако умножим тази матрица по – нека да бъде вектор х. Той е [х1;х2... хn] и като го умножим по единичната матрица, на какво ще е равно това? Това тук е вектор х. Ако умножим единичната матрица I с индекс n по този вектор х, който принадлежи на Rn, който има n компонента, какво ще получим? Ще получим 1 по х1, плюс 0 по х2, плюс 0 по х3, плюс 0 по х4, и така нататък. На практика ще получим – можем да го разглеждаме все едно този ред е умножен скаларно по вектора. Единственият ненулев член ще бъде 1 по х1. Това ще бъде х1 – извинявам се, ще го направя по следния начин. Ще получим друг вектор в Rn. На практика този първият член е този ред, умножен скаларно по този стълб, и тук получаваме просто х1. После следващият елемент ще бъде този ред, или можем да го разглеждаме като този ред транспониран, умножен скаларно по този стълб, значи 0 по х1, плюс 1 по х2, плюс 0 по всички останали елементи. Значи единственият ненулев член ще бъде 1 по х2, така че получаваме х2. Продължаваме по същия начин, и какво ще получим? Ще получим х3, защото единственият ненулев член тук е този третият, и продължаваме по същия начин надолу, докато получим xn. На какво е равно това? Това е равно просто на х. Хубавото на тази единична матрица, която създадохме, е, че когато умножим тази матрица по произволен вектор, получаваме отново този вектор. Единичната матрица по произволен вектор в Rn – това е дефинирано само за вектори в Rn – е равно на същия вектор. Всъщност, стълбовете на единичната матрица имат специално... множеството от стълбовете ѝ има специално име. Ако наречем този първи стълб е1, и този втори стълб е е2, третият стълб е е3 и така нататък до еn, тези вектор-стълбове тук, множеството от тези вектор-стълбове – нека е1, е2... до еn – това се нарича стандартен базис на Rn. Защо се нарича така? Думата базис означава, че трябва да са изпълнени две условия. Тези вектори трябва да са базисни вектори на Rn и те трябва да са линейно независими. Ако направим проверка, лесно се вижда, че тези вектори са линейно независими. Ако този вектор тук има 1, и никой друг няма 1 на това място, няма начин да се получи тази единица чрез някаква комбинация от останалите елементи. Можем да използваме същата логика за всяка от тези единици във всички тези компоненти. Така че тези вектори очевидно са линейно независими. За да бъдат базисни вектори, трябва да можем да конструираме всеки вектор чрез линейна комбинация на тези вектори, и трябва да можем – разбираш, всеки вектор, който искаме да конструираме, ако искаме да конструираме вектор х1 – ще го представя по следния начин. Ако искаме да конструираме този вектор – ще го запиша по следния начин. Ще избера друг вектор. Да кажем, че искаме да конструираме вектор [а1;а2;а3...аn]. Този вектор е произволен член на Rn, като искаме да конструираме този вектор. Линейната комбинация, която може да даде този вектор, е а1 по вектор е1, плюс а2 по вектор е2, плюс... и така нататък, до плюс аn по вектор en. Този скалар а1 по първия базисен вектор-стълб е1 дава – какво ще получим? Компонентите на първия вектор стават а1 и после ще има куп нули, ще има (n – 1) нули и ще изглежда ето така (пише на екрана). После плюс втория вектор с първи компонент нула, след това имаме а2 и куп нули. И продължаваме така, при което n-ия вектор ще има компоненти куп нули и след тях an. Очевидно, съгласно определението за събиране на вектори, събираме тези компоненти и получаваме този вектор ето тук. Това е донякъде очевидно, защото това ето тук е същото като нашата единична матрица, умножена по вектор а. Само исках да го видиш. Сега да приложим това, което вече знаем за линейните трансформации към това, което току-що научихме за единичната матрица. Току-що ти казах, че мога да представя всеки вектор по този начин. Ще препиша това, изразено чрез х. Мога да запиша всеки вектор х като линейна комбинация от стандартния базис, който на практика е просто вектор-стълбовете на единичната матрица. Мога да запиша това като х1 по е1, плюс х2 по е2 и така нататък до хn по en. Спомни си, че всеки от тези вектор-стълбове ето тук, например е1, просто съдържа 1 като първи компонент, а после всички останали компоненти са нули, е2 има 1 като втори компонент и всички останали компоненти са 0, еn... е5 има 1 като пети компонент и всички други компоненти са 0. Показах ти това и то е донякъде очевидно от това тук. От определението знаем, че една линейна трансформация на вектор х... ще го кажа по следния начин. Една линейна трансформация на вектор х е същото нещо като да вземем линейната трансформация на това цялото нещо – ще го направя с друг цвят – това е равно на линейната трансформация на... всъщност, вместо да използвам L, ще означа трансформацията като Т. Използвах L по грешка, защото си мислех за "линейна". Ако вземем линейната трансформация на вектор х, понеже това е начинът на записване, с който сме свикнали, това е същото нещо като да вземем линейната трансформация на това нещо. Те са еквивалентни. Значи х1 по е1 плюс х2 по е2, и така нататък до плюс xn по en. Тези твърдения са еквивалентни. От определението за линейна трансформация знаем, че това е същото нещо, че трансформацията на сумата е равна на сумата от трансформациите. Значи това е равно на трансформацията на х1 по е1 плюс трансформацията на х2 по е2, като това е всяка произволна линейна трансформация – нека поясня – това е произволна линейна трансформация. По определение, линейната трансформация трябва да притежава тези свойства. Значи трансформацията по х2 по е2, и така нататък до трансформацията по последният член, скаларът xn по стандартния базисен вектор en. Знаем от другото свойство на линейните трансформации, че трансформацията на един вектор, умножена по скалар е равна на скалара, умножен по трансформацията на вектора. Това следва просто от определението за линейна трансформация. Плюс х2 по трансформацията на е2, плюс... и така нататък до хn по трансформацията на еn. Какво е това? Мога да го преработя, така че всичко, което направихме досега... значи трансформацията на вектор х е равна на това, което е просто прилагането на свойствата на линейните трансформации, за всички линейни трансформации това трябва да е вярно. Получаваме, че това и това са еквивалентни. Това е равно на... ако разгледаме всяко от тези като вектор-стълб, на какво е равно това? Това е равно на матрицата, в която това е първият стълб, Т с индекс е1. После вторият стълб е Т с индекс е2. И така нататък чак до Т с индекс еn, по... ще го направя по следния начин – по х1, х2.... хn. Виждали сме това много, много пъти. Това, което е наистина хубаво за това е, че ние започнахме с една произволна трансформация. Току-що показах, че една произволна линейна трансформация на вектор х може да се представи като произведение на матрица, като взимам тази същата линейна трансформация на всеки от стандартните базисни вектори и мога да конструирам тази матрица, после умножавам тази матрица по нашия вектор х, което е равно на тази трансформация. Това, на практика, показва, че всички трансформации... трябва да внимавам. Всички линейни трансформации могат да се представят като произведение на матрица с вектор. Аз не само ти показах как може да стане това, но всъщност това е супер лесно нещо, много лесна математическа операция. Ще ти покажа един пример. Наистина мисля, че това е много хубаво. Да кажем, че имаме просто... ще си измисля някаква трансформация. Да кажем, че имаме трансформация, която е изобразяване от – ще я направя изключително интересна – от R2 в R3. Да кажем, че нашата трансформация Т(х1;х2) е равна на – да кажем, че първият елемент е х1 плюс (3 по х2), вторият компонент е (5 по х2) – х1, а третият компонент е (4 по х1) + х2. Това е едно изобразяване. Мога да го запиша и ето така. Мога да запиша, че Т от произволен вектор в R2, [х1;х2], е равно на... може би това е излишно, но мисля, че разбираш идеята. Предпочитам този начин на записване – (х1 + (3 по х2));( (5 по х2) – х1); после ((4 по х1) + х2). Това твърдение и това твърдение, което току-що записах, са еквивалентни. Искам да го покажа нагледно. Току-що ти казах, че мога да представя тази трансформация като произведение на матрица с вектор. Как мога да го направя? Трябва да взема трансформацията на този вектор. Множеството на първообразите тук е R2, и получавам вектор, който ще бъде в Rn. Какво да направя – да видим. Имам умения да умножавам матрици по вектори в R2. Така че ще го направя, като започна с единичната матрица 2 х 2, защото множеството на първообразите е R2, и тя изглежда ето така: [1;0;0;1]. Просто ще започна с това. Трябва само да приложа трансформацията към всеки от вектор-стълбовете в стандартния базис. Тези вектори са стандартни базисни вектори в R2. Може би се чудиш откъде знам, че тези вектори са стандартни, защо наричаме това стандартен базис? Не съм разглеждал това подробно, но можеш да умножиш скаларно всеки от тези вектори по всеки друг от тези вектори, и тогава ще видиш, че те са ортогонални помежду си. Скаларното произведение на всеки от тези вектор-стълбове с другите винаги е нула, така че това е добра подсказка. Също така те всички имат дължина 1, така че това е добра причина да бъдат наречени стандартен базис. Но да се върнем към нашата задача да представим тази трансформация като произведение на матрица с вектор. Казваме, че множеството на първообразите е R2 – да започнем с I2, което можем да наречем единична матрица 2 х 2. Сега да приложим трансформацията към всеки от тези вектор-стълбове, където всеки вектор-стълб е вектор в стандартния базис на R2. Значи нашият стандартен... значи Т от... Ще го запиша по следния начин. Първият стълб е Т от този вектор-стълб, после вторият стълб е Т от [0;1]. Знам, че не пиша особено прегледно. Колко е Т от вектор [1;0]? Просто идваме ето тук. Конструираме друг вектор. Получаваме 1 плюс (3 по 0, което е 1. После получаваме 5 по 0, минус 1, което е –1. В този случай х2 е 0. После получаваме 4 по 1, плюс 0, което е просто 4. Значи това е Т от (1;0). А колко е Т от (0;1)? Т (0;1) е равно на... имаме 0 плюс, 3 по 1, което е 3. После имаме 0 минус 1, което е –1. Само да проверя, че го направих вярно. Какво беше това? Това беше 5 по (0 минус 1). Да, 5 по 0 минус х1, което е 1. В този случай това е 5 по... о, трябва да внимавам. Това е 5 по х2. х2 е 1. Значи 5 по 1 минус 0 е равно на 5. После имаме 4 по 0 плюс х2, т.е. плюс 1. И току-що ти показах, че ако заместя всеки от тези стандартни базисни вектори с тяхната трансформация, какво ще получа? Получавам този вектор тук. Вече разбрахме какво са те. Ако взема този вектор и го изчисля, това е вектор [1; –1;4]. После този вектор тук е [3;5;1]. Това е, което току-що направихме, и то е... не знам – по някаква причина намирам това за удивително. Можем да преработим тази трансформация тук като произведението на всеки вектор – ако дефинираме това да е равно на а, можем да го запишем по следния начин. Можем да запишем нашата трансформация. Нашата трансформация на [х1, х2] може да се представи като произведение на тази матрица – ще го запиша в зелено. Матрицата [1;3;–1;5;4;1] по нашия изходен вектор [х1; х2] , което е супер яко, защото сега трябва само да извършим умножение с матрица. Вместо това, ако имаме някакъв компютърен процесор, който прави това супер бързо, можем да използваме това. Не знам, мисля че това е изключително елегантно, защото това, което се случва тук, е, че можем да приложим трансформацията към всеки от вектор-стълбовете на матрица 2 х 2, и ще получим матрица 3 х 2. Знаем какво се случва, когато умножим матрица 3 х 2 по вектор в R2. Можеш да си го представиш като матрица 2 х 1. Ще получим вектор в R3. Защото ще умножим този компонент по този компонент, което ще даде първия компонент. Този компонент по този ще даде втория компонент. Този по този ще даде третия компонент. Така че по начина на създаването на тази матрица 3 х 2, ние един вид сме създали изобразяване от R2 в R3. Както и да е, по много причини смятам, че това е изключително елегантно. Надявам се, че това е било полезно за теб.