Доказателство на неравенството на Коши-Буняковски-Шварц

Нека са дадени два ненулеви вектора. Първият вектор е х, вторият вектор е у. Те принадлежат на множеството Rn и са различни от 0. Изглежда, че абсолютната стойност на – нека само променя цвета, този цвят е хубав. Абсолютната стойност на скаларното произведение на тези два вектора – запомни, това е просто скаларна величина или число – е по-малка или равна на произведението на дължините им. Вече дефинирахме скаларното произведение на вектори, както и дължина на вектор. Скаларното произведение на два вектора е по-малко или равно на произведението на дължините им, и за да сме най-коректни, равенство имаме само когато... т.е скаларното произведение на два вектора е равно на дължините на това – равно или по-малко или равно имаме тогава и само тогава, когато единият вектор е мащабирана версия на другия, т.е. е равен на другия вектор, умножен по скалар, тоест когато са колинеарни, само когато единият вектор е просто по-къса или по-дълга версия на другия. Нека вектор х да е равен на вектор у, умножен по някакъв скалар. Тези неравенства или, да кажем, равенството в това неравенство, се нарича неравенство на Коши-Буняковски-Шварц Неравенство на Коши-Буняковски-Шварц. Нека го докажем, защото не можем просто хей така да го приемем за вярно. Не бива да се доверяваш просто така. Ще дефинирам една малко изкуствена функция. Това е функция на някаква променлива, на някакъв скалар t. Нека p(t) е равно на дължината на вектора t по... грешка, дължината на вектора – някакъв скалар t, умножен по вектора у, минус вектора х. Това е дължината на вектора. Това ще е вектор. Дължината на квадрат. Преди да продължа, искам да кажа нещо допълнително. Ако вземем дължината на някакъв реален вектор – да кажем дължината на някакъв вектор v. Искам да приемеш, че това ще е положително число, или поне по-голямо или равно на 0. Защото то е корен квадратен от сбора на елементите му, повдигнати на квадрат – от v1, v2... до vn, всички на квадрат. Всички тези са реални числа. Реално число на квадрат дава нещо по-голямо или равно на 0. Следователно сборът на квадратите също е по-голям или равен на 0. Като вземем корен от сбора, обичайния положителен корен квадратен, получаваме число, което е по-голямо или равно на 0. Така че дължината на всеки реален вектор е число, по-голямо или равно на 0. Това е дължината на реален вектор. Така че е по-голямо или равно на 0. В предходното видео, или може би преди два урока ти показах, че дължината на един вектор, повдигната на квадрат, е равна на скаларното произведение на вектора по самия него. Нека представим този вектор по този начин. Това е равно на... Дължината на вектора на квадрат е равна на скаларното произведение на вектора със себе си. Получаваме (t по y, минус х), умножено скаларно по (t по y, минус х). В последното видео ти показах, че можеш да разглеждаш скаларното умножение като нормалното умножение по отношение на асоциативния, дистрибутивния и комутативния закон. Когато умножим тези вектори, можем да го разглеждаме като умножение на два бинома. Може да го направиш по същия начин, както когато умножаваме два обикновени алгебрични бинома. Просто използваме дистрибутивния закон. Но си спомни, че това не е обикновено умножение. Това е скаларно произведение на вектори. Това е умножаване на вектори или един от начините за умножаване на вектори. Като разкрием скобите, получаваме ty умножено скаларно по ty. Нека го запиша: t по y, умножено скаларно по t по y. После получаваме минус... ще го направя по следния начин – получаваме минус х по това t по y. Вместо да казвам "по", ще внимавам и ще кажа "умножено скаларно по". Значи минус х, умножено скаларно по t по y. После имаме това t по y, умножено скаларно по това минус х. После имаме минус t по y, умножено скаларно по х. Накрая идва х, умножено скаларно по х. Разглеждаме го като –1 по х, умножено скаларно по –1х. Може да кажем плюс –1 по х. Да разгледаме това като плюс –1 или плюс –1. Това е –1 по х, умножено скаларно по –1 по х. Да видим. Това е опростеният или разширеният вариант на израза. Не бих нарекъл това опростяване. Може да използваме, че е в сила комутативния закон и асоциативния закон, за да преработим израза. Това е равно на y, умножено скаларно по у, по t на квадрат. t е просто скалар (число). Минус – и всъщност това е 2... Тези два израза са еквивалентни. Те са просто различен начин за записване на едно нещо. Скаларното произведение е асоциативно. Така че това е равно на 2 по х, умножено скаларно по у, по t. Ще сменя цвета. Тези два израза довеждат до този израз ето тук. Като прегрупираме, получаваме –1 по –1. Минус по минус е плюс, и получаваме плюс х, умножено скаларно по х. И тук ще променя цвета. Нека бъде оранжев. Така че от тези членове се получава този член. Разбира се, от този член се получава другият член. Спомни си, че само прегрупирах и казах, че това трябва да е по-голямо или равно на 0. Ще го препиша тук. Това е на практика същото нещо, записано по друг начин. Целият израз е по-голям или равен на 0. Да направим едно полагане, за да получим по-компактен израз, и по-късно ще заместим отново до началния ни израз. Нека това е а (у. у), а тази част тук да бъде b – целият израз минус 2х, умножено скаларно по у... Ще запазим t и нека това бъде равно на с. х умножено скаларно по х е с. Какво получихме? а по t на квадрат минус – трябва да внимавам с цветовете – минус b по t, плюс с. Разбира се, знаем, че това е по-голямо или равно на 0. То е същото като израза отгоре, който е по-голям или равен на 0. Мога да напиша р от t тук. Сега този израз е по-голям или равен от 0 за всяко t, за всяко реално t. Мога да взема... нека t е... Да изчислим стойността на функцията за b върху 2а. Можем да го направим, защото – какво беше а? Трябва да сме сигурни, че не делим на 0. а беше вектор, умножен скаларно по себе си. И казахме, че векторът е ненулев. Така че това е дължината му, повдигната на квадрат. Следователно нито един от тези членове няма да бъде отрицателен, когато вземем дължината му. Така че 2а не е равно на 0. Това е ненулев вектор. Следователно 2, по вектор, скаларно умножен със себе си, също няма да е 0. Така че можем да направим това, без да се притесняваме, че делим на 0. На какво ще бъде равно това? Ще е равно на – ще го запиша в зелено. Отнема време да сменяш цветовете. Равно е на а пъти по този израз на квадрат, т.е b^2 върху (4 по а^2). Повдигнах 2а на квадрат. Минус b по това, тоест b по – този път нормално умножение – b по (b върху 2а). Записваме го като нормално умножение. Плюс с. Знаем, че всичко това е по-голямо или равно на 0. Ако го опростим малко, какво ще получим? Това се съкращава със степента долу и получаваме b квадрат, b квадрат върху 4а, минус b квадрат върху 2а – това е единият член – плюс с е по-голямо или равно на 0. Нека го преработя отново. Ако умножа числителя и знаменателя на това с 2, какво ще се получи? 2b^2 върху 4а. Причината да го направя, е за да получа общ знаменател тук. Какво получаваме? b^2 върху 4а, минус 2b^2 върху 4а. До какво се опростяват тези два члена? Числителят е b^2 минус 2b^2. Става минус b^2 върху 4а, плюс с, което е по-голямо или равно на 0. Сборът на тези два члена е равен на това. Ако го добавим от двете страни на неравенството, получаваме с по-голямо или равно на b^2 върху 4а, което отляво беше отрицателно. Ако го добавим от двете страни, ще е положително от дясната страна. Стигаме до нещо, което прилича на неравенство. Нека заместим отново с началните стойности. Какво положихме? Ето ги. Всъщност, за да опростим още, нека умножим двете страни по 4а, а е не само различно от 0, но и положително число. Това е квадратът на дължината на вектора. Вече ти казах, че дължината на всеки реален вектор е положително число. Причината за тези обяснения за а е, че като умножа от двете страни с него, не искам да променя знака на неравенството. Нека умножим двете страни с а, преди да заместим. Получаваме 4 по а по с по-голямо или равно на b квадрат. Спомни си колко усилия положих. Показах, че а е положително, защото е квадратът на дължината. y, умножено скаларно по у, е квадратът на дължината на у, а това е положително число. Трябва да е такова – работим с реални вектори. Нека заместим обратно в полагането. 4 по а е 4 пъти скаларното произведение у по у, което също така – ще го запиша тук – то е равно на дължината на вектор у, повдигната на квадрат. Това е скаларното произведение на вектор у по самия него. Това е а. Скаларното произведение у по у – показах това в предишното видео – по с, което е скаларното произведение на вектор х по х, което е равно на дължината на вектора х, повдигната на квадрат, това е с. Следователно 4 по а, по с е по-голямо или равно на b на квадрат. А какво е b? b беше това: b квадрат е 2 пъти скаларното произведение на х по у, повдигнато на квадрат. Засега получаваме този резултат. Какво можем да направим сега? О, извинявам се, целият този израз е на квадрат. Това цялото тук е b. Нека го опростим. Получаваме – нека само сменя цвета – 4 по дължината на y, повдигната на квадрат, по дължината на х, повдигната на квадрат, е по-голямо или равно на – ако повдигнем на квадрат това, получаваме 4 по скаларното произведение на вектор х по вектор у, по скаларното произведение на х по у. Всъщност, нека го запиша по-добре. 4 по скаларното произведение на х по у, цялото на квадрат. Можем да разделим двете страни на 4. Това не променя неравенството. Това се съкращава. Сега да коренуваме двете страни на равенството. Коренуваме двете страни – това са положителни стойности, така че корен от лявата страна е корен на всеки член. Това е само степен. Като коренуваме и двете страни, получаваме дължината на у по дължината на х е по-голямо или равно на корен от това. Ще вземем положителния корен, положителната стойност на корена от двете страни на равенството. Така няма да объркаме знака на неравенството. Положителният корен е равен на абсолютната стойност на скаларното произведение на вектор х по вектор у. Трябва да внимавам, казвайки че това е абсолютна стойност, защото може тази част да е отрицателно число. Но като повдигаме на квадрат, искаме да знаем че коренът остава с положителна стойност. Защото при обикновен корен квадратен може да обърнем знака на неравенството. Взимаме положителната стойност на квадратния корен, тоест абсолютната стойност, чрез което е сигурно че това има положителна стойност. И това е нашият резултат. Абсолютната стойност на скаларното произведение на векторите е по-малко от произведението на дължините им. Получихме неравенството на Коши-Буняковски-Шварц. Последното, което исках да проверим, е какво се получава, ако вектор х е колинеарен на вектор у. В такъв случай колко е абсолютната стойност? Абсолютната стойност на скаларното произведение на вектор х по вектор у – на колко е равно това? Ако положим с абсолютната стойност на с по у, това е скаларното произведение на х по у, което е равно на – поради асоциативността – равно е на абсолютната стойност на с по – искаме да запазим положителните стойности – скаларното произведение на у по у, което е равно на с по дължината на вектор у – тоест дължината на вектор у, повдигната на квадрат. Това пък е равно на дължината на с по – или абсолютната стойност на с по дължината на вектор у, по дължината на у. Мога да преработя това – може да го докажеш, ако не вярваш – но можем да вкараме с в дължината – това би било добро упражнение за теб. Но е много лесно. От дефиницията за дължина, умножена по с, Получаваме дължината на с по у, по – да кажем дължината на вектор с по у, по дължината на вектор у. Пропуснах означението за вектор някъде тук. Ето го. Сега, това е х. Това е равно на дължината на вектор х по дължината на вектор у. Показах ти втората част от неравенството на Коши-Буняковски-Шварц, или че имаме равенство само когато единият вектор е колинеарен на другия, т.е. е негова мащабирана версия. Ако не са напълно ясни някои стъпки, ще е добро упражнение да ги докажеш самостоятелно. Например, да докажеш, че абсолютната стойност на с по дължината на у е същото като дължината на вектор с по у. Надявам се, че бях полезен. Ще ползваме неравенство на Коши-Буняковски-Шварц често в други доказателства в линейната алгебра. В друго видео ще ти обясня защо това е полезно във връзка със скаларното произведение.