Решаване на система от 3 уравнения с 4 променливи с преобразуване на матрица в ешелонна форма

Тук имам три уравнения с четири неизвестни. Предполагам, че се досещаш, или вече знаеш, че ако има повече неизвестни, отколкото уравнения, то вероятно нямаш достатъчно условия. Така ще получиш безкраен брой решения. Този безкраен брой решения вероятно все пак могат да бъдат ограничени. Да кажем, че имаме четири измерения, в този случай, тъй като имаме четири променливи. Може би сме ограничени в равнина в четири измерения, или ако сме в три измерения, може би сме ограничени до права. Правата представлява безкраен брой решения, но е по-ограничено множество. Нека да решим това множество линейни уравнения. Правили сме го чрез елиминиране в миналото. Сега искам да те запозная какво представляват матриците. Матриците са всъщност просто подредени множества от числа, които са подходящи за тази система от уравнения. Ще направя една матрица. Ще направя матрица с коефициентите, в която... матрицата с коефициенти ще бъде просто... ще го запиша прегледно – матрицитата с коефициенти просто ще съдържа коефициентите в левите страни на тези линейни уравнения. Тук коефициентът е 1. Коефициентът тук е 1. Коефицентът тук е 2. Имаме 2, 2, 4. 1, 2, 0. 1, 2 и няма коефициент на този член х3, защото тук няма член х3. Затова казваме, че коефициентът на този член х3 е 0. После имаме 1, –1, 6. Ако просто направя това тук, това е матрицата с коефициенти за тази система от уравнения. Искам да разширя тази матрица с това, което биха били решенията на тези уравнения. Ще я разширя. За да го направя, просто ще начертая една малка черта тук, и записвам 7, 12 и 4. Надявам се, че разбираш, че матрицата е просто още един начин за записване на тази система линейни уравнения. И само от местата тук, знаем, че това са коефициентите на членовете х1. Знаем, че това са коефицентите на членовете х2. Това ни спестява писането на х1 и х2 всеки път. Можем да правим същите операции с матрицата, които иначе щяхме да правим със системата от уравнения. Това, което можем да правим – можем да заместим всяко уравнение с това уравнение по някакво число, плюс другото уравнение. Можем да делим едно уравнение, можем да умножаваме уравнение по число. Можем да ги изваждаме едно от друго. Можем да ги разместваме. Да направим това, докато опитваме да решим тази система. Първото нещо, което искам да направя, точно както съм го правил и преди, искам да приведа това уравнение във вида, където, ако е възможно, да имам 1. Водещият ми коефициент във всеки ред е 1. И всеки друг елемент в тази колона е нула. Преди се стараех всеки друг елемент под него да е нула. Това е нещото, което правех в предишните видеа, когато се опитваме да намерим неща, които са линейно независими, или не. Сега искам да се уверя, че ако тук има 1, ако има водеща единица на всеки ред, тогава всичко друго в тази колона е 0. Това се нарича преобразуване (редуциране) на матрицата в ешелонна форма (по редове). Ще го запиша. Преобразуване (редуциране) на матрицата в ешелонна форма (по редове). Ако наречем това разширена матрица, матрица А, тогава искам да преобразувам матрицата А в ешелонна форма (по редове). Матриците, както е прието, точно както и векторите, записваме с удебелени букви, само че с главни букви, а не с малки букви. (у нас записваме векторите със стрелка отгоре, а матриците просто с главни букви) Ще говорим още за връзката между матриците и векторите в бъдеще. Сега просто да решим системата от уравнения. Първото нещо, което искам да направя, в един идеален свят аз бих направил всички тези елементи ето тук да са нули. Ще заместя този ред с ред, който е първият ред минус вторият ред. Ще го направя. Първият ред няма да се промени. Той ще бъде 1, 2, 1, 1. После тук имам 7. Това е в първия ред. Във втория ред искам да заместя с първия ред минус втория ред. Какво ще получим? 1 минус 1 е нула. Две минус 2 е нула. 1 минус 2 е минус 1. После 1 минус –1 е 2. Това е 1 плюс 1. Накрая 7 минус 12 е –5. Сега искам да се отърва от този ред ето тук. Не искам да се отървавам от това. Искам да се отърва от това 2 ето тук. Искам да го направя 0. Да заместим третия ред с третия ред минус два пъти първия ред. Ще заместя с последния ред минус 2 пъти първия ред. Ще заместя този ред с това. 2 минус 2 по 1 е 0. Това беше и целта ни. 4 минус 2 по 2 е нула. 0 минус 2 по 1 е –2. 6 минус 2 по 1 е 6 минус 2, което е 4. 4 минус 2 по 7 е 4 минус 14, което е –10. Какво можем да направим сега? Можем да видим, че този ред, като ще говорим допълнително какво означава този ред. Изведнъж получихме навсякъде нули и няма нищо тук. Ако тук имам ненулев член, тогава искам да направя нула това, въпреки че то вече беше нулирано. Просто ще се преместя на този ред. Първото, което искам да направя, е да направя този водещ коефициент тук 1. Искам да умножа втория ред по –1. Ако умножа целия този ред по –1, даже няма да преписвам матрицата. Това става +1, –2, +5. Мисля, че ще се съгласиш с това. Сега какво мога да направя? Ще превърна това ето тук в 0. Ще препиша разширената матрица в новия вид, който получих: Този път ще запазя средната редица непроменена. Средната редица е 0, 0, 1, –2, и после идва разширението, и тук имам 5. Сега искам да елиминирам това –2 в третия ред. Защо да не събера този ред с 2 пъти втория ред? Тогава ще получа –2, +2, и това върши работа. Какво ще получа? Тези тук стават нули. После имам –2 плюс 2 по 1. Това е просто 0. 4 плюс 2 по –2, това е –4, значи 4 плюс –4, това също е нула. После –10 плюс 2 по 5. Това е –10 плюс 10, което е 0. Това се нулира. Обикновено, когато правя обичайно елиминиране, се радвах, когато имах тези водещи единици. Всичко надолу беше нули. И не ме вълнуваше особено какво имам над нашите единици. Но сега искам да направя и тези да бъдат нули. Искам и това да бъде 0. Сега мога да заместя първия ред с първия ред минус втория ред. Колко е 1 минус 0? Това е просто 1. 2 минус 0 е 2. 1 минус 1 е 0. 1 минус –2 е 3. 7 минус 5 е 2. Ето така. Преобразувахме матрицата в ешелонна форма (по редове). Това е преобразуваната ни матрица в ешелонна форма (по редове). Записвам удебелено главно А ето тук. Знаеш, че това е преобразувано в ешелонна форма по редове, защото всички водещи единици на всеки ред – какви са водещите ми единици на всеки ред? Имаш тази единица и тази единица. Те са единствените ненулеви елементи в техните колони. Те се наричат водещи елементи. Ще ги означа. Това е водещ елемент. Това са единствените ненулеви елементи в съответните им колони. Ако имам някакви нулирани редове и аз имам такъв нулиран ред, третият. Това е нулиран ред. Общоприето е, че за преобразуване в ешелонна форма по редове се премахва последния ред. Водещите елементи трябва да са 1. Това е един случай. Не можем да имаме това 5. Трябва да разделим това уравнение на 5, щом това е 5. Така че всички водещи елементи във всички редове да са 1. После водещият елемент във всеки следващ ред трябва да е надясно от водещия елемент на предходния ред. Този тук е надясно от предишния. Това е просто стил, просто така е прието за ешелонната форма по редове. Ако имаме някакви нулирани редове, това трябва да е последния ред. И накрая, разбира се, мисля, че съм го казвал много пъти, това е единственият ненулев елемент в реда. За какво ми е полезно това? Сега мога да се върна от този свят обратно към моите линейни уравнения. Спомняме си, че това бяха коефициентите на х1, това са коефициентите на х2. Това са коефициентите на х3 и на х4, а това са свободните членове. Мога да преработя тази система от уравнения, като използвам матрицата в ешалонна форма по редове, като х1 плюс 2 по х2. После тук няма да има х3. Значи плюс 3 по х4, е равно на 2. Това уравнение няма х1 и х2, има х3. Имаме х3 минус 2 по х4 е равно на 5. Тук няма друго уравнение. Това е напълно нулирано. Успях да приведа системата от уравнения до тази система от уравнения. Променливите, които са свързани с водещите елементи, наричаме водещи променливи. х1 и х3 са водещи променливи. Променливите, които не са свързани с водещ елемент, наричаме свободни променливи. х2 и х4 са свободни променливи. Сега да намерим, всъщност можем да намерим само водещите променливи. Свободните променливи можем да сложим като произволна променлива. Казах го в началото на това видео. Имаме по-малко уравнения, отколкото неизвестни. Това няма да е решение, което има достатъчно условия. Няма да имаме само една точка в R4, която е решение. Ще имаме множество точки. Да намерим нашите водещи променливи, защото това е всичко, което можем да намерим. Това уравнение ни казва, ето тук, казва ни, че х3... ще избера хубав цвят – че х3 е равно на 5 плюс 2 по х4. После имаме, че х1 е равно на 2 минус х2, 2 минус 2 по х2. 2 минус 2 по х2, плюс... извинявам се, минус 3 по х4. Просто изваждам това от двете страни на уравнението. Това ето тук е важно, тъй като ще можем да намерим решение на системата от уравнения. Мога да избера произволни стойности за моите свободни променливи. Мога да избера произволни стойности за моите х2 и х4, и мога да намеря х3. Сега искам да напиша това в малко по-различна форма, така че да можем да го визуализираме по-добре. Но, разбира се, е трудно да се визуализират неща в четири измерения. Но можем да визуализираме нещата малко по-добре като множество от решения. Ще го напиша по този начин. Ако го представя във векторна форма, нашето решение ще бъде векторът [х1; х2; х3; х4]. На какво е равно това? Равно е на... ще го запиша по този начин. Равно е на... просто го преработвам, представям това решение във векторна форма. Значи х1 е равно на 2... ще направя една колона тук – плюс х2. Ще го запиша по този начин: Плюс х2 по нещо, плюс х4 по нещо. х1 е равно на 2 минус 2 по х2, или плюс х2 минус 2. Тук ще сложа –2. Мога да кажа плюс х4 минус 3. Поставям –3 тук. Това тук, водещите елементи на тези вектори просто представят това уравнение ето тук. х1 е равно на 2 плюс х2 по –2, плюс х4 по –3. На колко е равно х3? х3 е равно на 5. Слагам тук 5. Плюс х4 по 2. х2 не присъства тук. Можем просто да сложим 0. 0 по х2 плюс 2 по х4. На колко е равно х2? Можем да кажем, че х2 е равно на 0 плюс 1 по х2 плюс 0 по х4. х2 е равно на х2. Това е свободна променлива. По същия начин – на колко е равно х4? х4 е равно на 0 плюс 0 по х2, плюс 1 по х4. Какво ни дава това? Изведнъж тук изразихме нашето множество от решения като линейна комбинация от линейната комбинация на три вектора. Това е вектор. Можем да разглеждаме тези като координати или като позиционен вектор. Това е вектор в R4. Можем да го разглеждаме като позиционен вектор или като координати в R4. Можем да кажем, че нашето множество от решения... това е в R4. Всяко от тези решения има четири компонента, но можеш да си ги представиш в R3. Нашето множество от решения е равно на някакъв вектор ето тук. Това е векторът, можем да го разглеждаме като позиционен вектор. Кой ще има координати 2, 0, 5, 0. Това очевидно са четири измерения. Равен е на мащабирани версии на тези два вектора. Нека да наречем този вектор тук вектор а. Да наречем този вектор ето тук вектор b. Множеството от решения са всички тези точки, които са точно тук, или предполагам, че можем да ги наречем позиционен вектор. Този позиционен вектор ще изглежда ето така. Започваме от началото на координатната система, плюс мащабирани версии на тези два вектора. Ако това е вектор а, нека да направим вектор а в различен цвят. Вектор а изглежда ето така. Да кажем, че вектор а изглежда така, тогава вектор b ще изглежда така. Това е вектор b, а това е вектор а. Не знам дали това ще е по-лесно, или ще е по-трудно за теб да си го представиш, защото очевидно тук имаме работа с четири измерения, а аз го чертая в двумерна плоскост. Можеш да си представиш, че множеството от решения е равно на тази фиксирана точка, този позиционен вектор, плюс линейни комбинации на а и b. Като работим в R4. Ще го запиша. Работим в R4. Но линейните комбинации на вектор а и вектор b ще създадат една равнина. Можеш да умножиш а по 2, b по 3 или а по –1 и b по –100. Можеш да продължиш да събираш и изваждаш тези линейни комбинации на векторите а и b. Те ще конструират равнина, която съдържа позиционния вектор, или съдържа точката (2; 0; 5; 0). Решението на тези три уравнения с четири неизвестни е равнина в R4. Знам, че е трудно да се представи графично, може би ще направя друг пример в три измерения. Но се надявам, че това ти дава прилична представа какво е разширена матрица, какво е преобразуване в ешелонна форма (по редове), и кои са елементарните преобразувания, които можеш да извършваш с една матрица, без да объркаш системата.