Анализиране на вероятност на събитие за независимост

"Любимите цветове на Томас са синьо и зелено. Той има една синя риза, една зелена риза, една синя шапка, един зелен шал, едни сини панталони и едни зелени панталони. Томас избира случайно една от тези дрехи. Нека А е събитието, при което той избира синя дреха. Нека В е събитието, при което той избира риза. Кои от следните твърдения са верни?" Нека видим, преди дори да ги прочета, всички те се занимават с вероятността за сбъдване на събитие А, вероятността за сбъдване на събитие В, вероятността за сбъдване на В при дадено А, вероятността за сбъдване на А при дадено В, вероятността за едновременно сбъдване на А и В. Всъщност нека пресметна тези неща предварително, преди да погледнем тези тук. Нека помислим за вероятността за сбъдване на А. Това е вероятността той да избере синя дреха. Колко еднакво вероятни резултати имаме? Имаме един, два, три, четири, пет, шест еднакво вероятни резултати. Колко от тях включват избиране на синя дреха? Един, два, три от еднакво вероятните резултати включват избиране на синя дреха. Той има 3/6 или 1/2 вероятност да избере синя дреха. Каква е вероятността за сбъдване на В? Ще използвам неутрални цветове, след като казваме, че В е събитието, при което той избира риза. Отново, има шест възможни еднакво вероятни резултатa и кои включват риза? Един, два... изглежда две от шест включват избиране на риза. Или можем да кажем, че вероятността за сбъдване на В е равна на 1/3. Каква е вероятността за сбъдване на А при дадено В? Нека запишем това. Каква е вероятността за... нека използвам нов цвят. Каква е вероятността за сбъдване на А при дадено В? Ще направя това в тези цветове. А, при положение, че В се е случило. Това означава: "Каква е вероятността за сбъдване на А при дадено В?" Това е вероятността той да избере синя дреха, при положение, че е избрал риза. Това е даденото В, което ограничава резултатите ни до тези двата. Вероятността той да избере синя дреха – това е един от два еднакво вероятни резултати. Това е 1/2 вероятност, че той избира синя дреха, при положение, че е избрал риза. Това е, понеже има една синя риза и една зелена риза. Нека погледнем вероятността за сбъдване на В при дадено А. Вероятността за сбъдване на В при дадено А. Вероятността засбъдване на В при дадено А. Приемаме, че сме избрали синя дреха. То е или това, или това. Каква е вероятността, че също така сме избрали и риза? Има една, две, три възможности, еднакво вероятни възможности, при които имаме синя дреха. И само една от тях включва риза. Вероятността за сбъдване на В при дадено А е 1/3. Последно, можем да помислим за вероятността за сбъдване на А и В. Вероятността за сбъдване А и В. Това е вероятността да бъде избрана синя риза. Само един от шестте еднакво вероятни резултати е синя риза. Това тук ще е 1 върху 6. Сега, след като намерихме всичко това, нека видим дали можем да отговорим на тези въпроси. "Вероятността за сбъдване на А при дадено В е равна на вероятността за сбъдване на А." Да, това е правилно. Вероятността за сбъдване на А при дадено В е 1/2. И това е същото като вероятността за сбъдване на А. "Вероятността Томас да избере синя дреха, при положение, че е избрал риза, е равна на вероятността Томас да избере синя дреха." Да, точно така. Предполагам, че думите просто перифразират това, което са записали с по-математическо обозначение. Това е напълно вярно. "Вероятността за сбъдване на В при дадено А е равна на вероятността за сбъдване на В." Да, вероятността за сбъдване на В при дадено А е 1/3. Вероятността за сбъдване на В е 1/3. "Вероятността Томас да избере риза, при положение, че е избрал синя дреха, е равна на вероятността Томас да избере риза." Да, това е вярно. "Събития А и В са независими събития." Независими събития. Две събития са независими, ако – нека запиша това с математическо обозначение. Тези са независими, ако вероятността за сбъдване на А при дадено В е равна на вероятността за сбъдване на А. Тогава можем да кажем, че А и В са независими. Понеже вероятността за А... Ако това е вярно, то означава, че вероятността за сбъдване на А при дадено В не е зависима от това дали В се е случило, или не. Това е същото нещо като вероятността за сбъдване не А. Това ще означава, че тези събития са независими. Ако вероятността за сбъдване на В при дадено А е равна на вероятността за сбъдване на В, важи същият аргумент, и това ще означава, че те са независими. Или ако кажем, че вероятността за сбъдване на А и В е равна на вероятността за сбъдване на А по вероятността за сбъдване на В, тогава това също ще означава, че са независими. Знаем, че това е вярно. Вероятността за сбъдване на А и В е 1/6. Вероятността за сбъдване на А по вероятността за сбъдване на В е 1/2 по 1/3, което е 1/6. Всички тези са очевидно верни. Можем да кажем, че А и В са независими. Вероятността за сбъдване на А е независима от това дали В се е случило, или не. Вероятността В да се случи е независима от това дали А се е случило, или не. "Резултатите от събития А и В са зависими един от друг." Не. Това е обратното на това да кажем, че са независими. Можем да зачертаем това. "Вероятността за сбъдване на А и В е равна на вероятността за сбъдване на А по вероятността за сбъдване на В." Вече казахме, че това е вярно. 1/6 е 1/2 по 1/3. "Вероятността Том да избере синя дреха, която е риза, е равна на вероятността Том да избере синя дреха, умножена по вероятността той да избере риза." Да. Това е напълно вярно. Много от тези твърдения са верни. Единственото, което не е вярно, е че резултатите от събития А и В са зависими един от друг.